Задания.

Точечная оценка неизвестного параметра, найденная по выборке объема n, не указывает на то, какую ошибку мы допускаем, принимая вместо точного значения параметра его приближенное значение. Поэтому вводят интервальную оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится неизвестное значение параметра ,причем концы интервала не зависят от искомого параметра. Доверительным интервалом (или интервальной оценкой) называется интервал ,который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью .Величинаназывается надежностью доверительного интервала. Точные доверительные интервалы для нормально распределенной СВ : 1. Для неизвестного среднего при известной дисперсии : , где определяется из соотношения . 2. Для неизвестного среднего при неизвестной дисперсии : , где - критическая точка распределения Стьюдента (для двусторонней области) с n-1 степенью свободы, на уровне значимости . 3. Для неизвестной дисперсии : , где и - критические точки - распределения с n-1 степенью свободы и уровнем значимости . 4. По выборке ,…, можно построить доверительные интервалы для следующего (n+1)-го наблюдения: .  

1. Найдите минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности (по выборочному среднему ) равна , если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности .

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12

	-0,5	-0,4	-0,2		0,2	0,6	0,8		1,2	1,5

Оцените с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

3. Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что исправленное среднее квадратическое отклонение для числа работающих на фирме составляет = 25 (человек). Пользуясь 90%-ным доверительным интервалом, оцените среднее квадратическое отклонение для числа работающих на фирме по всей отрасли, построив доверительный интервал.

4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочному среднему равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

5. Фирма коммунального хозяйства желает оценить на основе выборки среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 0,99 и погрешностью, меньше 10 ден. ед. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическое отклонением, не превышающим 35 ден. ед., найти минимальный объем выборки.

6. Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают человек при среднем квадратичном отклонении человек. Пользуясь 95%-ым доверительным интервалом, оценить среднее число работающих в фирме по всей отрасли и общее число работающих в отрасли. Предполагается, что количество работников фирмы имеет нормальное распределение.

7. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленной среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

8. По выборке из 25 упаковок товара средний вес составил 101 г с исправленным средним квадратическим отклонением 3 г. Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с вероятностью 90%.

9. Производитель автомобильных шин заинтересован в получении оценки средней износоустойчивости шин особой модели. Он произвел случайную выборку объемом 10 шин и подверг их специальному испытанию. Средняя износоустойчивость, по данным выборки, оказалась равной 22500 миль с неисправленным средним квадратическим отклонением 3000 миль. Построить доверительный интервал с вероятностью 99% для средней износоустойчивости всего выпуска шин этого типа. Генеральная совокупность распределена нормально.

10. За последние 9 лет годовой рост цены актива А составлял в среднем 22% со средним квадратическим отклонением(исправленным) 6%. Построить доверительный интервал с вероятностью 90% для средней цены актива в конце следующего года, если в начале она была равна 200 ден. ед.

11. Бухгалтер компании решил предпринять выборочную проверку и выбрал 18 из 1200 компонент, продававшихся в прошлом месяце. Стоимость отборочных компонент 82; 30; 98; 116; 80; 150; 200; 88; 70; 90; 160; 100; 86; 76; 90; 140; 76; 68 (д.ед.). Найти оценку средней стоимости всех компонент и построить для нее доверительный интервал с надежностью 0,95. Какой объем выборки необходим для точности интервальной оценки (ден. ед.)?

12. Данные о производстве зерна в России в 1996-2002 гг. представлены в таблице.

Год
Производство, млн т	69,3	88,6	47,9	54,7	65,5	85,2	86,6

Построить доверительные интервалы для среднего и для следующего наблюдения с надежностью 95%, использую нормальное приближение.

13. В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собственных средств на 100 малых предприятиях региона.

Номер интервала	Интервал	Середина интервала
	5,05-5,15	5,1
	5,15-5,25	5,2
	5,25-5,35	5,3
	5,35-5,45	5,4
	5,45-5,55	5,5
	5,55-5,65	5,6
	5,65-5,75	5,7
	5,75-5,85	5,8

Построить доверительные интервалы для среднего и для следующего наблюдения с надежностью 95%, используя нормальное приближение.

Дата добавления: 2015-07-19