При движении материальной точки по окружности удобно выбрать в качестве координаты угол j, на который поворачивается радиус, указывающий мгновенное положение точки.

Кинематика вращательного движения.

Угловая скорость и угловое ускорение.

При движении материальной точки по окружности удобно выбрать в качестве координаты угол j, на который поворачивается радиус, указывающий мгновенное положение точки.

Рассмотрим материальную точку, вращающуюся вокруг оси ОО.

Пусть в некоторый момент времени t она находится в положении М, а в момент времени t+dt – в положении М’. За время dt точка повернется на угол dj и пройдет путь dS по окружности. Величину dS можно выразить через dj и радиус окружности r.

(1)

Поделим обе части этого уравнения на dt

(2)

Величина, стоящая в левой части этого равенства представляет собой линейную скорость точки v. По аналогии производную от j по t в левой части равенства называют угловой скоростью w.

(3)

Угловая скорость w характеризует быстроту изменения угла поворота вращающейся точки.

Для полной характеристики вращательного движения недостаточно знать только численное значение угловой скорости. Надо задать еще положение в пространстве оси вращения и направление вращения вокруг этой оси. Для этого достаточно считать угловую скорость векторной величиной. Направление вектора угловой скорости связано с направлением вращения правило правого винта (правилом буравчика). Согласно этому правилу вектор угловой скорости всегда направлен по оси вращения, в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения.

Из уравнений (2) и (3) следует связь между линейной скоростью v и угловой скоростью w.

(4)

Так как линейная и угловая скорости являются векторными величинами, то связь между ними можно записать и в векторной форме как векторное произведение.

(5)

Направление вектора v тоже определяется по правилу правого винта.

Направление v совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора v согласно определению векторного произведения, равен

Рассмотрим равномерное вращательное движение.

При этом движении величина угловой скорости остается постоянной, w=const.

Из формулы (3) можно написать

(6)

Чтобы найти связь w и j за конечный промежуток времени надо проинтегрировать выражение (6)

(7)

Так как w=const, то ее можно вынести за знак интеграла и в результате интегрирования получим

(8)

Эта формула верна только для равномерного вращательного движения.

Для такого движения можно ввести понятие периода обращения по окружности. Период Т- это время одного полного оборота вращающейся точки. Величина обратная периоду называется частотой n.

За время t=T точка повернется на угол j=2p. Тогда, согласно (8),

2p=wТ или

(9)

Если вращение происходит неравномерно, то быстроту изменения угловой скорости можно охарактеризовать угловым ускорением e

(10)

Как и угловая скорость, угловое ускорение также является векторной величиной. Направлен вектор углового ускорения вдоль оси вращения.

При ускоренном вращении

и вектор углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости.

При замедленном вращении

и вектор углового ускорения направлен в сторону противоположную вектору угловой скорости.

Как угловая скорость связана с линейной, так и угловое ускорение связано с линейным ускорением.

(11)

(12)

Рассмотрим равнопеременное вращательное движение.

При этом движении угловое ускорение остается постоянным, e=const.

, , ,

(13)

, , ,

(14)

Формулы (13) и (14) полностью описывают равнопеременное вращательное движение. Как видно, они аналогичны формулам для скорости и пути при равнопеременном прямолинейном движении.

Прямолинейное движение	Вращательное движение
Равномерное
Равнопеременное

Дата добавления: 2015-07-19