Циклические группы

Кугураков В. С.

Теория чисел и общая алгебра

Фрагмент 2

(Материалы к спецкурсу)

Циклические группы

Пусть − группа, любой элемент. Множество

(1)

степеней элемента образуют в подгруппу. Она называется циклической подгруппой, порождённой элементом . Группа называется циклической, если существует элемент ∈ такой, что .

Для произвольного имеются две возможности:

1) при любых . В этом случае называют бесконечной циклической подгруппой (группой), а − элементом бесконечного порядка.

2) для некоторых . В этом случае ввиду ( − единица в ) существует положительные степени , равные . Наименьшее , для которого , называют порядком элемента и обозначают . Очевидно, в конечной группе все элементы имеют конечный порядок; в бесконечной группе могут быть элементы как конечного, так и бесконечного порядка.

Примеры циклических групп. 1) , , ,…, − мультипликативная группа корней -ой степени из , порождаемая элементом , где , а также любым элементом , где нод , ; её порядок равен . 2) − аддитивная группа целых чисел.порждаемая как числом , так и числом ; это бесконечеая группа.

Замечание. В определении (1) использовалась мультипликативная форма записи групповой операции. При использовании аддитивной записи вместо (1) следует написать , где ( слагаемых). если ; (); , если . Если при любых , то называется элементом бесконечного порядка. Если , для некоторых , то порядком элемента называется наименьшее , для которого .

Теорема. Пусть − конечная группа порядка , а элемент порядка . Тогда

(2) ;

(3) , , ,…, ;

(4)

Доказательство. Представим число в виде , где − остаток от деления на ). Тогда ; отсюда вытекают (2) и (3). Поскольку − подгруппа в , то по теореме Лагранжа имеет место (4). ∎

Теорема. Группа простого порядка всегда циклическая.

Доказательство. Порядок любого элемента больше и является делителем числа и, следовательно, .∎

Теорема. Любые циклические группы и одного и того же порядка (в том числе и бесконечного) изоморфны.

Доказательство. Изоморфизм устанавливается соответствием , , которое взаимно однозначно и сохраняет операции.∎

Следствие. Любая конечная циклическая группа порядка изоморфна группе ; любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе .

Теорема. Пусть − группа, и ord . Тогда ord , где , .

Доказательство. Порядок элемента равен наименьшему , для которого , или, что равносильно, . Так как и взаимно просты, то

и . ∎

Следствие. Множество порождающих элементов группы порядка состоит в точности из элементов , для которых нод , . Число таких элементов равно , где − функция Эйлера.

Теорема. Бесконечная циклическая группа имеет в точности два порождающих элемента, причем, если − один из них, то − единственный другой. В частности, группа порождается обычной и .

Доказательство. Все бесконечные циклические группы изоморфны группе . Поскольку в только два порождающих элемента, то столько же и в любой другой бесконечной циклической группе. ∎

Теорема. Любая подгруппа циклической группы также является циклической. При этом:

a) Подгруппы конечной циклической группы порядка исчерпываются группами ,

b) Подгруппы бесконечной циклической группы исчерпываются тривиальной группой порядка и бесконечными группами , (В частности, подгруппами аддитивной группы целых чисел ℤ являются тривиальная группа , состоящая из одного числа , и группы , образованные целыми числами, кратными ).

Доказательство. a) Пусть − подгруппа в , а наименьшее целое, для которого . Очевидно, . Покажем, что в действительности и Возьмём в произвольный элемент, он имеет вид , . Представим числа и в виде

, ; , , , ∈ ℤ, , < .

Имеем

, ,

откуда, по выбору числа , следует, что , т.е. и

b) Очевидно, что и , где , − подгруппы в . Покажем, что других групп в нет. Пусть − любая подгруппа в , отличная от , и пусть − наименьшее, а − любое, для которых , . Тогда, представляя в виде , где , , , имеем . Отсюда заключаем, что = , | , а подгруппа состоит из элементов вида , , т.е. . ∎

Теорема. Пусть , − перестановочные элементы группы (т.е. ) порядков и соответственно. Тогда:

) Если и взаимно просты, т.е. нод , , то

ord(, , ,

где , − группа, порождённая элементами и (т.е. состоящая в данном случае из всевозможных произведений элементов и ; , .

Если нод ()= , то в существует элемент порядка нок ].

Доказательство. ) Вначале покажем, что Действительно если = , то , = ; отсюда следует, что и Так как взаимно просты, то Тогда

.

С другой стороны, , так как . Учитывая, что

, и ,

заключаем, что , .

Пусть , − разложения чисел и на простые множители, причем будем считать, что простые числа перенумерованы так, что

; .

Положим

, ,

, .

Поскольку , , нод , то согласно утверждению предыдущего пункта элемент имеет порядок равный =нок .

Следствие. Пусть − конечная абелева группа, а − максимальный порялок её элементов, т.е. . Тогда порядок любого элемента является делителем числа

Доказательство. Пусть − любой элемент, Тогда согласно пункту предыдущей теоремы существует элемент порядка нок [ ]. Если , то нок [ ] > , что противоречит выбору числа ∎

Теорема Силова. Пусть конечная группа, наибольшая степень простого числа , делящая . Тогда:

1) Для любого числа в группе найдётся подгруппа порядка

2) Если , то любая подгруппа порядка содержится в некоторой подгруппе порядка . В частности, подгруппы порядка и только они являются максимальными -подгруппами группы . Они называются силовскими -подгруппами группы .

3) Все силовские -подгруппы группы сопряжены между собой.

4) Число силовских подгрупп в сравнимо с единицей по модулю и делит порядок группы .

Кольца

Основные определения и свойства. До сих пор рассматривались множества с одной бинарной операцией – группоиды, полугруппы, моноиды и группы. Теперь будем рассматривать множества с двумя бинарными операциями, одну из которых принято называть сложением (и обозначать символом ), а другую – умножением (и обозначать символом , который, впрочем, обычно опускают).

Определение. Алгебраическая структура , , называется кольцом, если для неё выполнены следующие аксиомы:

R1. , − абелева группа;

R2. , − полугруппа;

R3. для любых , ,

,

(эти тождества называют дистрибутивными законами).

Структура , называется аддитивной группой кольца. Нуль этой группы (т.е. нейтральный элемент относительно сложения) называется нулём кольца и обозначается символом . Как и в случае аддитивных групп, элемент, противоположный к (т.е. обратный к относительно сложения), обозначается как . Операция вычитания в кольце определяется как

Структура , называется мультипликативной полугруппой кольца. Если данная полугруппа обладает единицей(т.е. нейтральным элементом относительно умножения), то она называется единицей кольца и обозначается как или .

Замечание. В общей теории колец рассматривают алгебраические системы, в которых аксиома R2 либо устраняется, либо заменяется на другую, например, на следующую:

R2 . , − группоид.

В этом случае говорят о неассоциативных кольцах. Здесь же рассматриваются только ассоциативные кольца.

Если умножение коммутативно, т.е. для любых , , то кольцо называется коммутативным.

Одноэлементное кольцо () называется, тривиальным, или нулевым.

Множество называется основным множеством кольца . Далее, для краткости, кольцо будем обозначать той же буквой, что и основное множество.

Поскольку кольцо является одновременно аддитивной группой и мультипликативной полугруппой, то для колец могут быть переформулированы свойства, присущие указанным структурам. Вместе с тем в кольцах обнаруживаются новые (специфические) свойства, обусловленные взаимодействием двух структур − аддитивной и мультипликативной − через связывающие их дистрибутивные законы. Отметим некоторые из них.

Во-первых, для всех . Действительно, . Аналогично, . Далее, из равенств

и следует, что и для всех , .

Применяя индукцию (сначала по , затем по ), можно вывести общий дистрибутивный закон:

В аддитивной группе кольца определим кратные для любых и , полагая для , = ( слагаемых) для и −((− для . Тогда из (1) следует, что

для всех , и , .

Подчеркнём, что не является произведением двух элементов кольца, поскольку (исключая, конечно, случай, когда . Однако, если кольцо обладает единицей, то можно записать как произведение двух элементов из :

.

Для коммутативного кольца справедлива формула (бином Ньютона):

Наконец, предположим на мгновение, кольцо обладает единицей и . Тогда из следует, что равенство возможно только для нулевого (т.е. одноэлементного) кольца.

Определение. Ненулевые элементы и кольца называются делителями нуля, если . Более точно: элемент называется левым делителями нуля, если существует ненулевой элемент такой, что . Аналогично определяется правый делитель нуля. Для коммутативного кольца эти понятия совпадают. Кольцо, в котором нет ни левых, ни правых делителей нуля, называется кольцом без делителей нуля. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется целостным кольцом (или областью целостности).

Очевидно, что кольцо без делителей нуля − это кольцо , у которого множество замкнуто относительно умножения, т.е. − полугруппа. Аналогично, целостное кольцо − это кольцо, у которого , − коммутативный моноид.

Теорема. Кольцо является кольцом без делителей нуля тогда и только тогда, когда в нём выполняются законы сокращения:

, ,

,

для всех , , .

Доказательство. Пусть − кольцо без делителей нуля. Тогда

, ,

т.е. первый закон сокращения выполняется. Аналогично доказывается и второй закон сокращения. Обратно, пусть выполняются оба закона сокращения. Тогда

или ,

т.е. в кольце делителей нуля нет. ∎

Следствие. Ненулевое коммутативное кольцо без делителей нуля является целостным кольцом тогда и только тогда, когда в нём выполняется закон сокращения

, для всех , , .

Определение. Пусть кольцо с единицей. Элементы называется левым обратным для , если . Аналогично определяется правый обратный для . Элементы называется обратимым в , если существует такой, что . При этом элемент называется двусторонним обратным (или просто обратным) для и обозначается . Множество обратимых элементов кольца обозначим через .

Отметим некоторые свойства обратимых элементов. Элемент может не иметь или иметь несколько левых или правых обратных. Однако, если имеет левый обратный и правый обратный , то . Действительно,

.

Для коммутативных колец понятия левого и правого обратных, очевидно, совпадают. То же самое справедливо и для колец без делителей нуля:

.

Обратимый элемент не может быть делителем нуля:

;

аналогично, .

Разумеется, что для обратимых элементов , справедливы равенства: , . Следующее утверждение является аналогом соответствующей теоремы о моноидах:

Теорема. Множество обратимых элементов кольца с единицей образует мультипликативную группу.

Группу называют группой обратимых элементов кольца . (Её обозначают также и называют группой делителей единицы или, более кратко, группой единиц кольца )

Определение. Кольцо с единицей , в котором всякий ненулевой элемент обратим, называется кольцом с делением, или телом. Другими словами, тело − это кольцо, ненулевые элементы которого образуют мультипликативную группу.

Определение. Коммутативное тело называется полем.

Поскольку полям уделяется особое внимание, повторим определение поля ещё раз:

Определение. Поле − алгебраическая структура , +, , удовлетворяющая аксиомам:

. , − абелева группа;

. , , где , − абелева группа;

. сложение и умножение связаны дистрибутивным законом:

для всех , ,

(поскольку умножение коммутативно, то надобность во втором законе отпадает).

Таким образом, поле − гибрид двух абелевых групп.

Любое поле, очевидно, является целостным кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, − целостное кольцо, но не поле, поскольку − единственный обратимый элемент.

Теорема. Любое нетривиальное конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является телом.

Доказательство. Пусть ,…, − множество всех ненулевых элементов кольца , − любой элемент. Рассмотрим отображение множества в себя. Это отображение является инъекцией (доказательство от противного: , ), а так как конечно, то и биекцией. Поэтому . Аналогично получаем, что , и, следовательно,

.

Сокращая эти равенства на все , кроме выбранного , получаем, что

для любого ,…, .

Так что − единица в . Поскольку , то , т.е. элемент имеет обратный. Стало быть, , − мультипликативная абелева группа, а − тело. ∎

Доказанная теорема является частным случаем следующего утверждения:

Теорема. Если конечное коммутативное кольцо содержит элемент , не являющийся делителем нуля, то − кольцо с единицей, в котором любой элемент из , не являющий делителем нуля, обратим.

Доказательство. Если , и ,то , и, следовательно, . Другими словами, при ,откуда, ввиду конечности множества , получаем, что . Аналогично, .

Из равенства следует, что существует элемент такой, что . Тогда для произвольного имеем: .

Аналогично, из равенства следует, что существует элемент такой, что при любом . Поскольку , то − кольцо с единицей .

Из равенств следует, что для некоторых , . Поскольку , то элемент обратим, а − его обратный элемент. ∎

Следствие. Конечное ненулевое коммутативное кольцо является полем тогда и только тогда, когда в отсутствуют делители нуля. В частности, конечное целостное кольцо является полем.

Замечание. На бесконечные кольца доказанные теоремы и следствие не распространяются. Например, в кольце 2ℤ нет делителей нуля, но нет и единицы. Кольцо ℤ, как отмечено выше, является целостным, но полем не является. Отметим также, всякое тело является полем, но не всякое тело является полем. Однако для конечных тел справедлива

Теорема Веддербёрна. Любое конечное тело является полем.

Доказательство. Откладывается.

Примеры. 1)Множество , с операциями с операциями сложения и умножения по модулю (в частности, ) − поле из двух элементов. 2) , , − поля рациональных, вещественных, комплексных чисел. 3) , } − расширение поля путём присоединения элемента (числа) . Обратным к ненулевому числу ) является .

Пример тела, не являющимся полем. В1843 г. У. Гамильтона нашёл алгебру, которая является ассоциативным телом, но не коммутативна. (См. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. С. 124-125.) Её элементы были названы кватернионами. Тело кватернионов имеет своей базой символы 1, , , , из которых первый служит единицей, а остальные перемножаются по правилам:

,

, , .

Каждый кватернион однозначно записывается в виде линейной формы от элементов базы с действительными коэффициентами , , , . Перемножаются кватернионы в соответствии с дистрибутивным законом и таблицей умножения базы. Неотрицательное вещественное число называется нормой кватерниона и обозначается . Кватернион называется сопряжённым к кватерниону и обозначается . Непосредственные вычисления показывают, что

= + , ∙ , = ,

, .

Каждый элемент мультипликативной группы , обратим: полагая , будем иметь

.

Дата добавления: 2015-07-16