Читайте также:
|
Задача 1. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м3 под давлением 767 мм рт. ст. при температуре 18°С. Какова плотность и удельный объем газа?
| Дано: V = 50 м3 Ρ = 767 мм. рт. ст. @ 767·133 Па Т = 291 К М = 2 кг/моль | Решение:
На основании уравнения Менделеева – Клайперона:
 устанавливаем число киломолей ν, содержащихся в заданном объеме V. Зная р - давление, V – объем, Т – температуру газа, R – молярную газовую постоянную
|
| ν –? N –? ρ –? d –? |
можно определить ν:
Число молекул N, содержащихся в данном объеме, находим, используя число Авогадро NА (которое определяет какое количество молекул содержится в одном киломоле). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено, так как известно число молей ν.
Подставляя в формулу число киломолей, устанавливаем число молекул, содержащихся в объеме V: 
.
Плотность газа ρ = m / V определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:
Подставляя числовые значения в единицах СИ в формулу, определим плотность газа:
Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева - Клайперона:
|
Ответ: 11,9 м3/кг.
Задача 2. В сосуде объемом 2 м3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
| Дано: V = 2 м3 m 1 = 4 кг М 1 = 4·10-3 кг/кмоль m 2 = 2 кг М 2 = 2·10-3 кг/кмоль Т 1 = 300 К | Решение:
Воспользуемся уравнением Менделеева - Клайперона, применив его к гелию и водороду:
 (1)
 (2)
где р 1 – парциальное давление гелия; m 1 – масса гелия;
|
| р -? М -? |
М 1 – егомолярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль·К) –молярная газовая постоянная; р 2 – парциальное давление водорода; m 2 – масса водорода; М 2 – его молярная масса.
По закону Дальтона: 
(3)
Из уравнений (1) и (2) выразим р 1и р 2и подставим в уравнение (3):
(4)
С другой стороны, уравнение Менделеева - Клайперона для смеси газов имеет вид:
(5)
Сравнивая (4) и (5) найдем молярную массу смеси газов по формуле:
, (6)
где ν1 и ν2 – число молей гелия и водорода соответственно.
|
Ответ: 3·10-3 кг/моль.
Задача 3. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода < λ > = 2,5 см при температуре 68°С? Диаметр молекул водорода принять равным d = 2,3·10 –10 м.
| Дано: <λ>= 2,5·10-2 м Т= 341 К d= 2,3·10-10 м NA = 6,02·1026 кмоль-1 | Решение: Давление водорода при температуре Т можно найти по уравнению Менделеева- Клайперона, в котором удобно ввести число молекул n 0 в 1 м3. |
| р –? |
Это проводится следующим образом:
; 
; 
;
где NA – число Авогадро и k – постоянная Больцмана.
Следовательно, 
Так как 
, имеем 
.
Число молекул в 1 м3 выразим через среднюю длину свободного пробега. Из формулы 
, находим 
Таким образом:
|
Ответ: 0,8 Па.
Задача 4. Определить плотность разреженного азота, если средняя длина свободного пробега молекул 10 см. Какова концентрация молекул?
| Дано: < λ > = 10 см = 0,1 м | Решение: Средняя длина пробега молекулы определяется формулой: |
| р -? n 0 -? |
, (1)
где d – эффективный диаметр молекул (для азота d = 0,31·10 –9 м).
Концентрацию молекул найдем из равенства:
, (2)
где NA – число Авогадро; М = 28·10 –3 кг/моль – молярная масса азота.
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим: 
|
Ответ: 1,09·10-6 кг/м3.
Задача 5. Вычислить коэффициент внутреннего трения и коэффициент диффузии кислорода, находящегося при давлении 0,2 МПа и температуре 280 К.
| Дано: p = 2·105 Па d = 2,9·10-10 м М = 32·10-3 кг/моль Т = 280 К | Решение: На основании представлений молекулярно – кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения идеального газа (динамическая вязкость) и коэффициент диффузии определяются по формулам: |
| η -? D -? |
(1); 
(2),
где ρ– плотность газа; < λ > – средняя длина свободного пробега молекул; <υ ар > – средняя арифметическая скорость молекул.
Из (1) и (2) следует 
(3)
Среднюю арифметическую скорость и среднюю длину свободного пробега молекул находим по формулам:
(4) 
, (5)
где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура; d = 2,9·10 –10 м – эффективный диаметр молекулы кислорода; n 0 – число молекул в 1 м3 (концентрация).
Из уравнения Менделеева - Клайперона определяем n 0
(см. задачу 3): 
(6)
где р – давление; k = 1,38·10 –23 Дж/К – постоянная Больцмана.
Подставляя (6) в уравнение (5), получаем: 
. (7)
Окончательный вид расчетной формулы для коэффициента диффузии найдем, подставляя выражения (4) и (7) в уравнение (2):
. (8)
Плотность кислорода определяется по формуле: 
. С учетом (6) имеем: 
. (9)
Подставляя (9) и (8) в (3), получаем расчетную формулу для коэффициента внутреннего трения: 
.
Вычисляем: 
Ответ: 
.
Задача 6. Наружная поверхность кирпичной стены площадью 25 м2 и толщиной 37 см имеет температуру 259 К, а внутренняя поверхность–293 К. Помещение отапливается электроплитой. Определить ее мощность, если температура в помещении поддерживается постоянной. Теплопроводность кирпича 0,4 Вт/(м·К).
| Дано: S = 25 м2 D = 37 см = 0,37 м T 1 = 259 K T 2 = 293 R χ = 0,4 Вт/(м·К) | Решение:
Количество теплоты, прошедшее через наружную стену, определим по закону Фурье:
 (1)
где t – время протекания теплоты.
|
| N -? |
За время t – электроплита должна выделить такое же количество теплоты: 
(2)
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:
,
откуда 
, 
Ответ: 0,92 кВт.
2. Основы термодинамики
Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.
| Дано: т = 2 кг Т = 400 К М = 2·10 –3 кг/моль | Решение: Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда |
| <E пост > -? <E вр > -? |
число степенейсвободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия: 
Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:
, 
.
Число молекул, содержащихся в массе газа m: 
, где ν – число молей, NA – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет: 
, (1)
где R = kNA – молярная газовая постоянная.
Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: 
. (2)
Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем:
Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.
Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р 1 = 100 кПа до Р 2 = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р 3 газа в конце процесса.
 Дано:
Р 1 =100 кПа=1·105 Па
Р 2 = 1 МПа =1·106 Па
V 2 = const
g = 1,4
Р 3 –?
| Решение:
На PV диаграмме представлен график, соответствующий процессу, указанному в условии задачи.
|
Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:
(1)
Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:
,
откуда P 1 V 1 = P 3 V 3.
По условию задачи V 2 = V 3.Используя уравнение (1) можно записать
.
Тогда 
Ответ: 
Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м2, если плотность воздуха у поверхности Земли 
а давление Р 0 = 1,013 ∙ 105 Па. Температуру воздуха считать одинаковой.
| Дано:
h = 1 км = 1000 м
S = 1 м2
Т = const
Р 0=1,013 ∙ 105 Па
= 1,2 кг/м 3
| Решение:
Атмосферное давление меняется с высотой, плотность воздуха также является функцией высоты  . Массу воздуха в элементе объема dV представим в виде:
dm =  .
Найдем изменение плотности воздуха с высотой.
|
| m –? | Согласно уравнению состояния идеального газа |
. (1)
Продифференцировав (1), получим 
(2)
С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h 0 к высоте h 0 + dh
(3)
где 
– плотность воздуха на высоте h.
Используя уравнения (2) и (3) получим:
или
Вычислим массу столба воздуха
Подставив данные, приведенные в условии задачи получим:
m = 1,13 · 103 кг.
Ответ: m = 1,13 · 103 кг.
Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 107 Па, а объем 0,3 л.
| Дано: Т = 4 кг V 2/ V 1 = 40 p 1 = 10 7Па V 1 = 0,3 л = 3·10-4 м3 | Решение: Работа А, совершаемая адиабатически расширяющимся воздухом, в данном случае идет на увеличение кинетической энергии поршня, т. е |
| υ -? |
,
где т и υ – масса и скорость поршня.
Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: 
, где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4).
Так как , то 
, 
Ответ: 54 м/с.
Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 24 м -3.
| Дано: υ = 500 м/с n 0= 5·10 24 м –3 | Решение:
Давление определяется по формуле:  , (1)
|
| р -? |
где F – сила давления, S – площадь.
Силу давления найдем из второго закона Ньютона:
, (2)
где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δ υ – изменение скорости молекул при ударе.
Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро: 
, где М = 32·1023 кг/моль – молярная масса кислорода; NA = 
– постоянная Авогадро.
За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: 
, масса которых: 
. (3)
Изменение скорости при соударении: 
. (4)
Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: 
, откуда 
, 
.
Ответ: 1,33·105 Па.
Задача 12. Определить удельные теплоемкости ср, сv, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.
| Дано: m 1= 1 кг М 1 = 28 кг/кмоль i 1 = 5 m 2 = 1 кг М 2 = 4 кг/кмоль газа. i 2 = 3 | Решение: Удельной теплоемкостью какого – либо газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. При этом величина теплоемкости зависит от условий, при которых |
| ср -? сv -? |
происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: 
, где 
, т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой: 
, где i 1 и i 2 – число степеней свободы первого и второго газов.
Окончательно получим: 
. (1)
Если нагревание происходит при постоянном давлении, то
, (2)
где 
, т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна: 
; 
, поэтому:
.
Подставляя это значение в уравнение (2), получим:
.
Произведем вычисления:
Ответ: 
.
Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.
Дано:
m = 0,02 кг
Т 1 = 27°С = 300 К
М = 2 кг/кмоль
i = 5
| Решение:
При адиабатном процессе температура и объем газа связаны
соотношением:  , где  – отношение теплоемкостей газа при
|
| T 2 -? А -? |
постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4.
Отсюда выражение для конечной температуры Т 2 будет:
.
Работа А 1 газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:
.
|
Работа А 2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде: 
|
.
Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:
|
.
График процесса приведен на рисунке 1.
 |
Ответ: 8,7 · 103 Дж.
Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V 1= 1 м3 и находится под давлением р 1= 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V 2= 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р 3= 0,5 МПа. Найти изменение Δ U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.
| Дано: m = 2 кг М = 32 кг/моль V 1= 1 м3 р 1 = р 2 = 2·105 Мпа V 2= 3 м3 р 3 = 5·105 Мпа R = 8,31·10 –3 Дж/(кмоль·К) | Решение:
Изменение внутренней энергии газа выражается формулой:
 , (1)
где i – число степеней свободы молекул газа для двухатомных молекул кислорода (i = 5); М – молярная масса; R – молярная газовая постоянная.
|
| Δ U -? А -? Q -? |
Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:
. (2)
Решая его относительно Т, получим: 
(3)
Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него
величин, находим: 
Работа расширения газа при постоянномдавлении выражается формулой: 
. Подставив числовые значения, получим:
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А 2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: 
. Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии Δ U и работы А: 
, следовательно: 
.
График процесса приведен на рисунке 2.
 |
Ответ: 3,65 МДж.
Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n = 1 моль и находящийся под давлением Р 1 = 0,1 МПа при температуре Т 1 = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р 2 = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V 1. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД h.
Дано:
Р 1= 0,1 Мпа = 1·105 Па
Т 1= 300 К
Р 2= 0,2 Мпа = 2·105 Па
| Решение:
 В координатах Р, V график цикла имеет следующий вид
|
| T 2 –? Т 3 –? h –? |
V 1 V 2 V
|
Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V 1 = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением:
= 
.
Отсюда T 2 = 2 Т 1 = 600 K.
Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т 2 = Т 3.
Термический КПД цикла определяется выражением
, (1)
где Q 1 – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q 2 – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл.
Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3
Q 1= Q 1-2 + Q 2-3,
где Q 1-2 = C v v (T 2 - T 1) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании,
– количество теплоты, полученное при изотермическом расширении.
Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии:
Q 3-1 = Q 2 = Cр 
– молярная теплоемкость газа при V = const, C р 
– молярная теплоемкость газа при P = const.
Подставив значения Q 1 и Q 2, С v и С р в формулу (1) получим:
, 
Ответ: T 2 = T 3 = 600 K, η = 9,9 %.
Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.
| Дано: V 2 = 2 V 1 A 2-3 = 3000 Дж i = 5 | Решение: Идеальный цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3). |
| А -? |
На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т 1 = Т 2), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т 3 = Т 4) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию.
При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q 1 идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е.
 |
(1)
При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q 2 тепло отдается холодильнику (Q 2), и это количество теплоты определяется работой, затраченной на сжатие газа:
(2)
Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, поэтому можно записать:
(3)
Для состояний 4 и 1, которые отвечают одной адиабате, имеем:
(4)
Поделив выражение (3) на (4), получим:
, (5)
так как Т 1 = Т 2и Т 3 = Т 4.
Работа при адиабатическом расширении на участке 2-3 равна:
(6)
Работа при адиабатическом сжатии на участке 4-1 равна:
.
Так как Т 1 = Т 2, а Т 3 = Т 4, то А 2 - 3 = -А 4 - 1, т.е. полная работа по адиабатическому сжатию и расширению равна нулю.
Следовательно, работа цикла: А = А 1 - 2 – А 3 - 4.
Из уравнений (1), (2) и (5) получим: 
(7)
Из уравнения (6) выразим разность температур Т 2 – Т 3, равную Т 1 – Т 3, и подставим в уравнение (7): 
. Произведем вычисления: 
.
Ответ: 831,6 Дж.
Задача 17. В результате изотермического расширения объем 8 г кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.
Дано:
M = 32 кг/кмоль
V 2 = 2 V 1
| Решение:
Изменение энтропии системы определяется по формуле:
 (1)
где dQ – количества тепла,
|
| ∆S -? |
сообщенное газу, Т – абсолютная температура, S 1 и S 2 – значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы.
При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е. dQ = dA = pdV.
Из уравнения Менделеева – Клапейрона: 
поэтому:
(2)
Подставляя выражение (2) в (1), получим:
Произведем вычисления:
Ответ: 1,44 Дж/град.
Задача 18. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.
Решение:
Пусть температура горячей воды T 1, холодной – T 2, а температура смеси Θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса:
, или 
откуда: 
. (1)
Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды:
.
Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды:
.
Изменение энтропии системы равно
,
или с учетом соотношения (1) имеем: 
.
Так как 
, то 
и 
.
Поэтому 
, т.е. энтропия возросла.
Ответ: энтропия увеличивается.
Задача 19. Лед массой 2 кг, находящийся при температуре –10°С, нагрели и превратили в пар. Определить изменение энтропии.
Дано:
| Решение:
Изменение энтропии определяется по формуле:
 .
Общее изменение энтропии равно сумме  , где  – изменения энтропии, происходящие на отдельных этапах процесса:
 .
|
| ∆S -? |
1. Изменение энтропии 
происходит при нагревании льда от начальной температуры T 1 = 263 K до температуры плавления T 2 = 273 K: 
, так как 
, то 
, где m – масса льда; с 1 – удельная теплоемкость льда.
2. Изменение энтропии 
происходит при плавлении льда. В этом случае 
. Тогда: 
, где T 2– температура плавления льда; λ – удельная теплота плавления.
3. Изменение энтропии 
происходит при нагревании воды от температуры T 2 до температуры кипения T 3 = 373 K. Величина вычисляется аналогично :
,
где с 2 – удельная теплоемкость воды.
4. Изменение энтропии 
происходит при испарении воды; так как 
, то
,
где r – удельная теплота парообразования.
Общее изменение энтропии
Ответ: 1,73·104 Дж/К.
Задача 20. Резиновый шнур, жесткость которого k = 3 · 
H/м под действием груза удлинился на 
см. Считая процесс растяжения шнура изотермическим и происходящим при температуре t = 27°C, определить изменение энтропии.
Дано: Решение:
k = 3·10 
Согласно 1-го закона термодинамики
t = 27°C Так как при изотермическом процессе
то 
Процесс растяжения шнура происходит при постоянной температуре, а значит изменения внутренней энергии не происходит. Работа А равна изменению потенциальной энергии резинового шнура:
А = 
,
Отсюда:
Ответ: 
Задача 21. Углекислый газ массой 88 г находится в сосуде емкостью 10 л. Определить внутреннее давление газа и собственный объем молекул.
| Дано: V = 10 л = 10 –2 м3 m = 88 г = 8,8·10-2 кг М = 4,4·10-2 кг/моль а = 0,361 Н·м/моль2 b = 4,28·10-5 м3/моль | Решение:
По уравнению Ван-дер-Ваальса выражение добавочного давления р /имеет вид:
 ,
где а –постоянная Ван-дер-Ваальса, V – объем.
|
| р’ -? V’ -? |
Постоянная Ван-дер-Ваальса b учитывает поправку на собственный объем молекул V’, и, как следует из уравнения Ван-дер-Ваальса, произведение 
равно учетверенному объему молекул 
, откуда:
.
Ответ: 0,021 л.
Список литературы
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.1. – М.: Наука, 1999.
2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2003.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2002.
4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.
5. Чертов А. Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Интеграл–пресс, 1997.
Составители: ШАТОХИН Сергей Алексеевич,
Сагитова Эмма Вагизовна
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Основные формулы | | | Уфа 2005 |