Основные теоретические положения. Явления переноса в жидкостях, твердых телах и газах подчиняются аналогичным

Явления переноса в жидкостях, твердых телах и газах подчиняются аналогичным дифференциальным уравнениям. Общее уравнение для явлений переноса можно вывести, исходя из положений молекулярно-кинетической теории. При выводе уравнения, описывающего явления переноса, будет использовано понятие градиента. Поясним смысл этого понятия.

Если какая-либо физическая величина возрастает в направлении , то скорость ее возрастания принято характеризовать отношением изменения этой величины к расстоянию , на котором это изменение произошло. При этом ось OX располагают в направлении максимального возрастания величины . Модуль градиента величины можно определять по формуле:

. (1.1)

Рассмотрим общий случай. Пусть скалярная величина является функцией трех координат . Градиентом этой функции называется вектор , где символами обозначены частные производные по координатам.

Подсчитаем число молекул, проходящих за промежуток времени через некоторую воображаемую площадку , помещенную в газе. По направлению оси движется всех молекул, причем в положительном направлении оси и в противоположном. Пусть средняя скорость теплового движения молекул , их концентрация . Тогда за время через площадку пройдет всех молекул, находящихся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием и высотой :

. (1.2)

Обозначим переносимую физическую величину . Тогда физическая величина, перенесенная в одном направлении через площадь за время ,

. (1.3)

Такое же количество будет перенесено и в обратном направлении.

Предположим, что газ неоднороден по своим свойствам. Тогда в общем случае можно положить, что в разных местах объема различна и концентрация молекул и молекулы имеют неодинаковые значения физической величины . Тогда количество величины в единице объема будет разным в разных местах объема. Слева от она равна , справа – . Пусть > , тогда будет иметь место преимущественный перенос физической величины слева направо, и будет перенесено

. (1.4)

Так как изменение физических характеристик частиц происходит только при их столкновении, расстояние, соответствующее разным значениям , должно быть равно – средней длине свободного пробега молекул. Средней длиной свободного пробега молекул называется средний путь, проходимый молекулой между столкновениями.

Будем считать, что на расстоянии вправо и влево от значение не менялось, а изменение от до произошло на расстоянии, равном 2 .

Рис 1.1. Перенос величины вдоль оси x

Умножив и поделив выражение (1.4) на 2 , получим:

. (1.5)

Отношение представляет собой модуль градиента величины ; расстояние, на котором произошло изменение величины , равное 2 , можно заменить на ():

. (1.6)

Уравнение переноса запишется в окончательном виде:

. (1.7)

Знак «минус» поставлен в связи с тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном ее возрастанию. Градиент направлен справа налево, в направлении возрастания , а перенос происходит слева направо.

В явлении внутреннего трения переносимой физической величиной является импульс молекулы , где – скорость направленного движения, – масса молекул.

Если концентрация молекул одинакова во всем объеме, то для входящих в уравнение (1.7) величин приращений можно записать: и .

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса равно импульсу действующей силы, то есть . В данном случае – это сила взаимодействия между слоями газа, действующая в плоскости их соприкосновения, то есть сила внутреннего трения.

Учитывая связь между импульсом тела и силой, преобразуем формулу (1.7) к следующему виду:

. (1.8)

Сокращая это равенство на промежуток времени и учитывая, что плотность газа , получаем:

. (1.9)

Обозначим входящее в это выражение произведение трех величин следующим образом:

, (1.10)

тогда для силы получим выражение:

. (1.11)

Таким образом, сила внутреннего трения, возникающая в плоскости соприкосновения двух скользящих относительно друг друга слоев, пропорциональна градиенту скорости и площади соприкосновения слоев.

Формула (1.11) называется законом Ньютона. Величина , задаваемая формулой (1.10), называется коэффициентом внутреннего трения (коэффициентом динамической вязкости). Коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на единице площади при градиенте скорости, равном единице.

Дата добавления: 2015-07-16