Математико-статистические таблицы

Методические указания к использованию таблиц

1. В ТАБЛИЦЕ 1 протабулирована функция (интеграл вероятностей) Лапласа:

где f(t) - плотность нормированной (стандартной) нормально распределенной случайной величины T N(0,1)

Ф(t) обладает следующими свойствами:

1. Ф(t) – нечётная функция: Ф(-t) = - Ф(t);

2. Ф(t) – монотонно возрастающая функция: при t®+¥ Ф(t) ®1; Ф(+ ) = 1.

Вероятность попадания случайной величины Т в интервал от t₁ до t₂ вычисляется по формуле:

Пример 1. T N(0,1) P(-1,36<T<2,15)=?

На пересечении строки, соответствующей t=1,3 и столбца, соответствующего 6 сотым долям t, находим в середине таблицы значение функции Лапласа. Это Ф(t)= 0,8262. Таким образом, с учётом нечётности функции Лапласа, t₁=-1,36 соответствует Ф(t₁)=Ф(-1,36)=-Ф(1,36)=-0,8262.

Аналогично t₂=2,15 соответствует Ф(t₂)=Ф(2,15)=0,9684

Пример 2. Ф(t)=0,98; t=?

В середине таблицы находятся значения функции Лапласа Ф(t). Находим ближайшее к 0,98 значение, это Ф(t)=0,9802. Значит, соответствующее значение t будет равно 2,33. t=2,33.

2. В ТАБЛИЦЕ 2 протабулирована вероятность выхода за пределы интервала от -t до +t случайной величины, имеющей распределение Стьюдента (t - распределение) с числом степеней свободы :

f(t;ν) - плотность распределения Стьюдента с числом степеней свободы ν.

Функция St(t) обладает следующими свойствами:

1. St(-t) = 2 - St(t);

2. St () = 0; St (- ) = 2; St (0) = 1.

Вероятность попадания случайной величины T в интервал от t₁ до t₂ вычисляется по формуле:

Пример 1. Для заданной вероятности α=0,05 и числа степеней свободы ν=12 найти соответствующее значение t.

На пересечении строки таблицы, соответствующей ν=12, и столбца, в котором α=0,05, находим значение t=2,179.

Пример 2. Определить, какой вероятности α соответствует найденное значение t=1,19 при числе степеней свободы ν=8.

В строке, соответствующей заданному числу степеней свободы ν=8, находим ближайшее значение к t=1,19 - это t=1,108, что соответствует вероятности α=0,3.

Более точно значение вероятности α можно найти методом линейной интерполяции.

Пример 3. при = 10 определить P(-1,36<T<2,15)=?

Чтобы не прибегать к интерполяции, в строке, соответствующей =10, находим ближайшие к заданным значения.

3. В ТАБЛИЦЕ 3 протабулирована вероятность того, что наблюдаемое значение случайной величины χ², имеющей распределение Пирсона (хи-квадрат распределение) с числом степеней свободы n, превысит табличное значение χ²_T

На рисунке представлен график функции f(χ²,ν) - плотности c² - распределения с числом степеней свободы n.

Вероятность попадания случайной величины c² в интервал от c₁² до c₂² вычисляется по формуле

.

Функция P (c²) обладает следующими свойствами:

0 χ²_T χ²

P (0) = P (c²>0) = 1; P (+ ) = P (c²> + ) = 0.

Пример 1. При числе степеней свободы =8 и вероятностям, равным P(c₁²)=0,975 и P(c₂²)=0,025, найти соответствующие значения c₁² и c₂².

На пересечении строки таблицы, соответствующей ν=8, и столбца, в котором P(c_T²)=0,975, находим значение c₁² =2,180. Аналогично на пересечении строки с ν=8, и столбца, в котором P(c_T²)=0,025, находим значение c₂² =17,535.

Пример 2. При числе степеней свободы =12 и значениям c₁² =3,156 и c₂²= 20,48 найти соответствующие им

вероятности P(c₁²) и P(c₂²).

В строке, соответствующей заданному числу степеней свободы ν=12, находим ближайшее значение к c₁² =3,156 - это c₁² =3,074, что соответствует вероятности P(c₁²)=0,995. Аналогично в строке с ν=12, находим ближайшее значение к c₂²= 20,48 - это c₂²= 21,026, что соответствует вероятности P(c₂²)=0,05.

Более точно значение вероятностей P(c²) можно найти методом линейной интерполяции, приведённым в описании таблицы 2.

Пример 3. При числе степеней свободы =10 определить

Чтобы не прибегать к интерполяции, в строке таблицы, соответствующей =10, берём значения, ближайшие к заданным.

f(F)

4. В ТАБЛИЦЕ 4 для случайной величины F, имеющей закон распределения Фишера-Снедекора (F -распределение) с числами степеней свободы числителя ν₁ и знаменателя ν₂, протабулированы три значения, соответствующие трем вероятностям (уровням значимости): α=P(F>F_T) =0,05 (верхнее значение); α= 0,01 (среднее значение) и α=0,001(нижнее значение).

Статистика F строится таким образом, чтобы наблюдаемое значение было не меньше единицы (числитель должен быть больше знаменателя).

0 F_T F

Пример. Найти значение F -распределения, соответствующее уровню значимости α = 0,01 и числам степеней свободы числителя ν₁ =5 и знаменателя ν₂ =7.

На пересечении столбца таблицы, соответствующего числу степеней свободы числителя ν₁ =5, и строки, соответствующей числу степеней свободы знаменателя ν₂ =7, находим три значения F -распределения и выбираем среднее из них, соответствующее α = 0,01. Таким образом, F _T=7,46.

5. В ТАБЛИЦЕ 5 Фишера - Иейтса приведены критические значения коэффициента корреляции r _кр (α;ν) для проверки значимости генеральных парных и частных коэффициентов корреляции по выборочным.

В таблице приведены значения для четырёх уровней значимости: α= 0,05; α =0,02; α =0,01 и α =0,001.

Число степеней свободы ν зависит от объёма выборки n и вида коэффициента корреляции. n = n - 2 в случае парной корреляции и n = n - l - 2, где l - число исключенных величин, в случае частной корреляции.

Пример. Найти критические значения коэффициента корреляции r _кр (α;ν) для проверки значимости парных и частных коэффициентов корреляции в случае трёхмерной модели (X,Y,Z) на уровне значимости α =0,02, если число наблюдений, по которым рассчитаны выборочные коэффициенты корреляции, равно n =23.

При проверке значимости парных коэффициентов корреляции ρ_xy, ρ_yz, ρ_xz число степеней свободы n = n -2=21.

r _кр (α= 0,02; ν= 21) находится на пересечении строки таблицы, соответствующей ν= 21 и столбца со значением α= 0,02 в верхней части таблицы (для двусторонних границ). ν= 21 отсутствует, поэтому методом линейной интерполяции находим недостающее значение r _кр для ν=21 между r _кр=0,492 (для ν=20) и r _кр=0,445 (для ν=25). Повышение степени свободы на 1 соответствует понижению r _кр на (0,492-0,445)/5=0,0094; следовательно, r _кр(ν=21)=0,492-0,0094=0,4826. Таким образом, для парных коэффициентов корреляции r _кр=0,4826.

При проверке значимости частных коэффициентов корреляции ρ_xy/z, ρ_yz/x, ρ_xz/y число степеней свободы n = n - l -2=23-1-2=20 (l =1 в случае трёхмерной модели, фиксируется одна переменная). r _кр(α= 0,02; ν= 20) находится на пересечении строки таблицы, в которой ν= 20 и столбца со значением α= 0,02 в верхней части таблицы (для двусторонних границ). Таким образом, для частных коэффициентов корреляции r _кр=0,492.

6. В ТАБЛИЦЕ 6 приведены значения прямого и обратного Z -преобразования Фишера, соответствующие гиперболическим арктангенсам и гиперболическим тангенсам заданных чисел.

;

Используются в математической статистике при расчёте интервальных оценок генеральных коэффициентов корреляции. Для значимых выборочных парных и частных коэффициентов корреляции можно построить с заданной надёжностью γ доверительный интервал ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max с помощью Z -преобразования Фишера:

;

Пример. Для выборки из 15 наблюдений двумерной нормальной совокупности (X,Y) получено, что выборочный коэффициент корреляции равен r =-0,85. С надёжностью γ= 0,95 построить доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max.

1). По найденному выборочному коэффициенту корреляции r= 0,85 с помощью таблицы 6 находим соответствующее значение Z_r на пересечении строки, в которой r= 0,8 и столбца, соответствующего 5 сотым долям r. Таким образом, получаем Z_r =-1,2562. (Z(-r)=-Z(r), т.к. Z(r) - функция нечётная)

2). Вычисляем (t_γ =1,96, соответствующее заданной надёжности γ =0,95, находим по таблице 1 функции Лапласа для Ф(t_γ)= γ =0,95).

Затем рассчитываем Z_min = Z_r – ΔZ=- 1,2562-0,5658=-1,822; Z_max = Z_r + ΔZ=- 1,2562+0,5658=-0,6904.

3). Соответствующие значения ρ_min и ρ_max находятся с помощью обратного преобразования Фишера следующим образом. В середине таблицы 6 находим ближайшие к рассчитанным Z_min и Z_max значения и определяем, каким коэффициентам корреляции они соответствуют.

Z_min =-1,822; в середине таблицы 6 находим ближайшее значение, это Z= 1,8318. Это соответствует коэффициенту корреляции, равному 0,95 (смотрим, на пересечении каких строки и столбца находится найденное значение Z). Следовательно, нижняя граница генерального коэффициента корреляции ρ_min =-0,95.

Аналогично для Z_max =-0,6904 в середине таблицы 6 находим ближайшее значение, это Z= 0,6932. Это соответствует коэффициенту корреляции, равному 0,60. Следовательно, верхняя граница генерального коэффициента корреляции ρ_max =-0,60. (Более точно значения ρ_min и ρ_max можно получить, рассчитав по формуле гиперболического тангенса, приведённой выше). Таким образом, Р(-0,95≤ ρ ≤ -0,60)= γ= 0,95.

7. В ТАБЛИЦЕ 7 протабулирована функция плотности вероятностей (функция Гаусса) f(t) нормирован-ной (стандартной) нормально распределенной случайной величины T N(0,1)

f(t) обладает следующими свойствами:

1. f(t) – чётная функция: f(-t) = f(t). Функция f(t) симметрична относительно оси ординат

2. f(t) – монотонно убывающая функция: при t®±¥ f(t) ®0; f (+ ) = 0.

Пример 1. T N(0,1); t =1,53; f(t) =?

На пересечении строки, соответствующей t =1,5 и столбца, соответствующего 3 сотым долям t, находим в середине таблицы значение функции Гаусса f(t) =0,1238.

Пример 2. T N(0,1); f(t) =0,31; t =?

В середине таблицы находим значение функции Гаусса, ближайшее к заданному 0,31. Это f(t) =0,3101. Теперь смотрим, какому t это соответствует, т.е на пересечении каких строки и столбца находится найденное значение f(t). Таким образом, получаем t =0,71.

8. В ТАБЛИЦЕ 8 протабулированы значения функции Пуассона вероятности того, что в n повторных независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз. Формула Пуассона используется при вероятности наступления события p, близкой к нулю, и параметру λ=np,находящемуся в пределах0,1 ≤ λ ≤ 10.

Пример. Событие А происходит в каждом из испытаний с вероятностью p =0,005. Найти вероятность, что при проведении 1000 испытаний событие А наступит 3 раза.

n =1000; m= 3; p =0,005. P₁₀₀₀(X =3)=?

λ=np= 1000 · 0,005=5. Искомую вероятность находим в таблице 8 на пересечении строки, соответствующей m= 3 и столбца, в котором λ= 5. Таким образом, P₁₀₀₀(X =3)= 0,1404.

9. В ТАБЛИЦЕ 9 приведены значения G – распределения. Используется в математической статистике при проверке гипотезы об однородности ряда дисперсий k генеральных совокупностей с помощью критерия Кохрана. Значения G – распределения приводятся в таблице для двух уровней значимости. Первое значение соответствует уровню значимости a = 0,05, а второе - a = 0,01.

Кроме того, значение G зависит от числа степеней свободы ν= n -1 (где n – объём независимых выборок из каждой совокупности)и количества рассматриваемых совокупностей k, для которых проверяется равенство генеральных дисперсий.

Пример. Для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий 4 совокупностей осуществили независимые выборки по 10 наблюдений в каждой. Критерий Кохрана проверяется на уровне значимости a=0,05. Найти соответствующее критическое значение G-распределения G_кр.

На пересечении строки таблицы 9, соответствующей k =4, и столбца, в котором число степеней свободы ν=n -1=10-1=9 находятся два значения G-распределения. Берём верхнее из них, соответствующее заданному уровню значимости a=0,05. Таким образом, G_кр=0,502.

---

Дата добавления: 2015-07-19