Производственные системы и теория затрат

Итак, всякая производственная система характеризуется ПФ, которая задает правило преобразования производственных факторов в конечный продукт. В условиях предположения о совершенной конкуренции цены на производственные факторы задаются внешней средой, и являются в этом смысле экзогенными переменными. Соответственно можно определить стоимость набора факторов производства (на примере двухфакторной ПФ) как:

,

где r и w – стоимость затрат единицы капитала и труда соответственно.

Прибыль производителя определяется как:

,

где p – цена единицы готового продукта.

Возможны две постановки задачи оптимизации производственного процесса:

максимизация выпуска при заданном уровне затрат и минимизация затрат при заданном уровне выпуска продукции. Эти задачи, как известно, являются взаимодвойственными. Вспомним также, что эти задачи существенно отличаются для случаев краткосрочного и долгосрочного периодов.

Рассмотрим задачу об эффективном распределении ресурсов и равновесии потребителя в долгосрочном периоде.

Основными допущениями при построении данной модели являются:

§ производственный процесс может быть описан ПФ вида Y=f(K,L);

§ увеличение затрат ресурсов приводит к увеличению выпуска продукта;

§ факторы производства являются несовершенными субститутами, то есть возможно замещение одного фактора другим;

§ справедлив закон убывания предельного продукта.

Модель стационарного равновесия производителя:

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Ограничение (4.8) является фактически бюджетным ограничением производителя (по аналогии с бюджетным ограничением потребителя).

Ограничение (4.8) также называют изокостой, которое вместе с ограничениями (4.9) задает множество максимального количества ресурсов, доступных для производителя. В общем случае уравнение изокосты имеет вид:

(4.10)

Наклон изокосты определяется отношением цены единицы труда к цене единицы капитала – w/r.

Следовательно, задача (4.7)-(4.9) требует нахождения набора факторов L и K, который лежит на изокосте и максимизирует величину продукта Y. Решение этой задачи можно определить методом множителей Лагранжа:

функция Лагранжа будет иметь вид:

(4.11)

оптимальное решение можно получить из следующей системы уравнений:

(4.12)

(4.13)

(4.14)

Напомним, что условие (4.14) реализует утверждение, что эффективный набор факторов принадлежит изокосте. Величина l является множителем Лагранжа, который показывает, на сколько единиц продукта увеличится выпуск продукта при увеличении стоимости набора на единицу (при малом увеличении!). Условия (4.12) и (4.13) можно записать как:

и

Откуда следует, что:

Значит, как и в модели поведения потребителя, в модели равновесия производителя для оптимального набора факторов справедливо равенство отношений предельных продуктов факторов к теневой цене фактора. Или в точке максимума отношение предельных полезностей равно отношению цен каждого фактора:

(4.15)

Значит, условие равновесия производителя есть равенство предельной нормы замещения труда капиталом величине отношения цен единицы затрат труда к цене единицы затрат капитала.

Теперь рассмотрим модель равновесия производителя с точки зрения целевого критерия – минимизации функции затрат. Тогда задача примет вид:

(4.16)

(4.17)

(4.18)

Получим решение этой задачи с помощью метода множителя Лагранжа:

функция Лагранжа будет иметь вид:

(4.19)

оптимальное решение можно получить из следующей системы уравнений:

(4.20)

(4.21)

(4.22)

Полученная система уравнений имеет то же решение, что и система (4.12)-(4.14):

Графическая интерпретация этой задачи будет отображать сдвиг изокосты (целевой функции) в направлении антиградиента до первой точки касания с неподвижной линией изокванты. Эта точка качания и будет являться точкой минимума (см. Рис. 4.8)

.

Дата добавления: 2015-07-19