Теоретическая часть. Стоячие волны (взято из Сивухина)

Стоячие волны (взято из Сивухина)

Пусть в натянутом шнуре слева направо распространяется поперечная синусоидальная волна . Если изме­нить знак у kx, то получится волна , распро­страняющаяся справа налево. Такую волну можно получить, если отразить от конца шнура первую волну. Поэтому волну можно назвать падающей, а волну – отраженной. Никакой добавочной фазы в выражение для отраженной волны можно не вво­дить, если условиться помещать начало координат в точке шнура, в которой падающая и отраженная волны находятся в одинаковых фазах. Это и предполагается в дальнейшем. Предположим, что отражение полное, т.е. амплитуды падающей и отраженной волн одинаковы. От наложения таких волн возникает возмущение

, (1)

называемое стоячей волной. В этом возмущении каждая точка шнура, характеризуемая координа­той х,совершает гармоническое колебание с циклической частотой и амплитудой . Амплитуда таких колебаний обращается в нуль в тех точках, где . Такие точки называются узлами смешения. Посередине между двумя соседними узлами амплитуда колебаний макси­мальна, соответствующие точки называются пучностями смеще­ния. Расстояние между двумя соседними узлами или пучно­стями определится из условия , откуда . Все точки между двумя соседними узлами колеблются в одина­ковых фазах. Они одновременно проходят через положение рав­новесия и одновременно достигают максимума. При переходе через узел знак s меняется на противоположный. Это значит, что при этом фаза колебания скачкообразно изменяется на . Например, рис.1 на участке АВ между узлами А и В все точки колеблются в одной фазе (допустим одновременно принимают амплитудное значение), при переходе к участку ВС знак s меняется, т.е. скачкообразно меняется фаза на . Однако такой скачок не ведет к нарушению непрерывности колебательного процесса, так как он совершается при нулевой амплитуде. Кар­тина колебаний в стоячей волне представлена на рис. 2. Две синусоиды на этом рисунке изображают крайние положения, которых достигает шнур при своих колебаниях, стрелками ука­зано направление движения, которое возникнет из этих крайних положений. Узлы смещения как бы разделяют шнур на автоном­ные области, в которых совершаются независимые гармонические колебания. Никакой передачи движения от одной области к дру­гой, а, следовательно, и перетекания энергии через узлы не проис­ходит. Иначе говоря, нет никакого распространения возмущения вдоль шнура. Вот почему возмущение, представляемое выражением (1), называется стоячей волной. Заметим еще, что в узлах смещения максимальны производные , т. е. деформации шнура, а в пучностях смещения . Поэтому узлы смещения явля­ются пучностями деформации, а пучности смещения – узлами деформации.

Колебания струны, стержня (взято из Иродова).

В натянутой струне, закреп­ленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произво­льного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных часто­тах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны дол­жны выполняться определенные граничные условия:в них сме­щение все время должно равняться нулю. Значит, если в стру­не возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны должно укла­дываться целое число п полуволн: . Из этого условия на­ходим возможные длины волн:

, = 1,2,...

Соответствующие частоты

, где – фазовая скорость волны.

Частоты называют собственными частотами струны. Час­тоту () называют основной частотой, остальные , ,... – обертонами. Гармонические колебания с рассмотренными частотами назы­вают собственными колебаниями, или гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию раз­личных гармоник (спектр).

Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом – в середине, на одном конце и т. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это ка­сается как поперечных, так и продольных колебаний.

Дата добавления: 2015-07-19