Решение. Свести матричную игру к задачам линейного программирования и найти её решение:

Задача 1

Свести матричную игру к задачам линейного программирования и найти её решение:

Решение

Для начала проверим, имеет ли матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок 1 выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок 2 выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока 1.

Игроки
	-5			-5
		-5		-5
			-5	-5

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры , которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁. Верхняя цена игры . Это свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как , тогда цена игры находится в пределах . Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки и доминирующие столбцы.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока 1 будет случайной величиной. В этом случае игрок 1 должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок 2 должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока 1.

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы число 5. Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции при ограничениях:

Найти максимум функции при ограничениях:

Можно решить одну из систем, например решим вторую систему.

Цена игры будет равна , а вероятности применения стратегий игроков:

, .

Цена игры: ,

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1: P = (¹/₃; ¹/₃; ¹/₃).

Оптимальная смешанная стратегия игрока 2: Q = (¹/₃; ¹/₃; ¹/₃). Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число 5, то вычтем это число из цены игры.

5 - 5 = 0

Цена игры:

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.

Дата добавления: 2015-07-19