Принципы дискретизации по времени

В основе математического описания временной дискретизации сигналов лежит так называемая выборочная функция, которая представляет собой периодическую последовательность δ-импульсов, следующих через интервалы времени Т. Функция такого вида рассматривалась ранее в § 1.10, где математически она была представленатак:

Соотношения было показано, что спектр этой выборочной функции представляет собой последовательность одинаковых δ-импульсов частоты, а именно

Выборочная функция, образованная последовательностью δ-импуьсов, и ее спектральная плотность изображены на рис. 1. В основе всех полезных применений рассматриваемого случая срочной функции лежит одно из свойств δ-импульса, заключающегося в том, что если единичный δ-импульс умножить на произвольную функцию g(t), то вес (площадь) импульса становится равным значению функции g(t) в момент возникновения импульса, т. е.

Таким образом, при умножении произвольной функции на δ-импульс осуществляется отсчет значения функции в момент появления импульса. Следовательно, умножая сигнал информации g(t) на рассмотренную выше выборочную функцию, можно осуществить. периодические отсчеты сигнала согласно выражению

РИСУНОК 1 Выборочная функция и ее спектр

Дискретизированная функция сообщения v(t) соответствует отсчетам сигнала информации, взятым через интервалы времени Т (рис.). Преобразованный таким способом сигнал информации представляет собой периодическую последовательность δ-импульсов, веса которых равны мгновенным значениям исходной функции в моменты отсчета, т. е. g(lT).

РИСУНОК 2 Дискретизированная функция сообщения

(высота изображения δ-импульса соотве -

ствует отсчетному значению функции)

Для дальнейшего изучения свойств процесса дискретизации лучше всего обратиться к методам частотного анализа. В связи с этим напомним, что умножение и свертка функций являются двойственными операциями во временной и частотной областях. Поскольку дискретизированная функция сообщения представляет собой произведение сигнала информации и выборочной функции, ее спектральная плотность определяется как свертка спектра сигнала информации с линейчатым спектром (7.2). В соответствии с (7.2) спектральная плотность дискретизированного сообщения V(f) ó v{t) имеет вид

где G(f) ó g('f) — спектральная плотность передаваемого сообщения. Если отвлечься от масштабного коэффициента 1/ T то спектральная плотность V(f) представляет собой бесконечный спектр, ванный периодическим повторением спектра исходного сообщения, как показано на рис. 3. Заметим, что выборочная часто-

РИСУНОК 3 Спектр дискретизированной функции сообщения.

та f= 1/ /T (или скорость взятия отсчетов) весьма сходна с понятием несущей частоты и что каждая отдельная часть спектра дискретизированного сообщения напоминает спектр БМ сигнала. Далее, спектр на рис. 3 изображен в предположении, что выборочная частота несколько превышает удвоенную максимальную частоту спектра исходного сигнала. При таком соотношении частот соседние части спектра взаимно не перекрываются и исходное колебание может быть восстановлено с помощью фильтра, который пропускает без искажений лишь одну, например, центральную часть спектра дискретизированного сообщения и подавляет все остальные его составляющие. (Если выделяется любая другая часть спектра, то исходное сообщение восстанавливается методом синхронного детектирования.).

Основным положением принципа временной дискретизации является теорема о наименьшем числе отсчетов функции, определяющих ее полностью и однозначно. При дискретизации сигналов всегда приходится иметь дело с функциями, имеющими ограниченный спектр. Можно, например, показать, что действительная низкочастотная функция, спектр которой ограничен максимальной частотой f _m:

полностью описывается своими значениями, отсчитанными через интервалы 1/2 f _m, сек, на всем промежутке существования функции (т. е. может быть точно восстановлена по этим значениям). Таким образом, выборочная частота (скорость взятия отсчетов) должна удовлетворять неравенству

Другими словами, частота f _с должна превышать максимальную частоту спектра функции более чём в два раза. Этот вывод очевиден и непосредственно из рис. 3. Как указывалось выше, при такой скорости последовательность отсчетов полностью определяет исходную функцию, в то время как при меньшей скорости соседние ветви в спектре дискретизированного сообщения будут перекрывать друг друга, что приведет к искажению восстановленной функции.

Минимальная скорость отсчетов для функций с ограниченным спектром, равная 2f_m, называется скоростью Найквиста. Можно показать, что аналогичные соотношения справедливы и для полосовых функций, у которых средняя частота f_c много больше ширины спектра В. Отсчеты (амплитуды и фазы) полосовой функции, взятые со скоростью Найквиста, т. е. 2В отсчетов в секунду, полностью описывают исходную функцию. Таким образом, нет необходимости передавать все значения непрерывной функции времени. Достаточно посылать лишь его мгновенные значения, полученные путем снятия отсчетов с постоянной скоростью 2f_m или 2В отсчетов в секунду.

Дадим теперь иное толкование принципа дискретизации: сигнал, не содержащий частот выше f_m, Гц, может принимать самое большое 2f_m независимых значений в секунду. В этом смысле можно говорить о том, что сигнал полностью определяется количеством 2f_m чисел в секунду или что в секунду он передает 2f_m независимых элементов информации. Отсюда следует, что фильтр или канал связи с полосой пропускания В, Гц, может быть использован для передачи не более 2f_m независимых отсчетов в секунду.

Приведем теперь простое обоснование принципа дискретизации и покажем, что полное восстановление исходного сигнала по его выборочной последовательностиможет быть осуществлено идеальным фильтром нижних частот с полосой пропускания .

Пусть имеется сигнал информации с ограниченным спектром

,

где .

Поскольку спектр сигнала ограничен конечной областью (- f_m, +f_m)то G(f) можно трактовать, как периодическую функцию частоты с периодом 2 fm, которую можно разложить в ряд Фурье. Естественно, это разложение будет описывать сигнал g(t) только делах основной области

(- f_m, +f_m). Таким образом,

где коэффициенты разложения

Из соотношения вытекает, что

и, следовательно,

Таким образом, коэффициенты разложения пропорциональны мгновенным значениям исходной функции, отсчитанным со скоростью Найквиста. Соответственно разложение G(f) в ряд Фурье также определяется отсчетными значениями исходной функции:

Из этого следует, что исходная функция может быть представлена в виде

Последнее выражение и служит образованием теоремы отсчетов, которая гласит, что действительная функция с ограниченным спектром полностью определяется последовательностью своих дискретных значений g(k/2f_m), следующих через интервалы l/2 f_m, сек. Каждое слагаемое представляет собой смещенную функцию вида ( sin x)/x, амплитуда которой в момент соответствующего отсчета равна мгновенному значению исходной функции, а в моменты остальных отсчетов обращается в ноль. Кроме того, соотношение показывает, что в промежуточные моменты времени совокупность всех слагаемых в точности воспроизводит функции g(t). Это иллюстрируется рис. 4.

РИСУНОК 4 Восстановление сигнала по его отсчет-

ным значениям с помощью фильтра нижних частот.

Из приведенного обоснования принципа дискретизации ясно, что дискретизированная функция сообщения вида

где отсчеты берутся со скоростью, несколько большей чем 2f_m в секунду, вмещает в себя весь объем информации, содержащейся в исходной функции. Из рис. 3, на котором изображен спектр сигнала v(t), очевидно, что g(t) может быть восстановлена по последовательности своих дискретных значений с помощью фильтра нижних частот. Справедливость этого легко доказывается и другим путем. С этой целью рассмотрим идеальный фильтр нижних частот с чистотой среза 1/2 Т≥f_m:

Математически прохождение дискретизированной функции сообщения v(t) через фильтр нижних частот H(f) соответствует свертке v(t) с импульсной переходной функцией фильтра h(t). Следовательно,

где

Подставляя сюда находим, что сигнал, получающийся в результате низкочастотной фильтрации дискретизированной функции сообщения, имеет вид

Если сравнить этот результат и учесть, что T≤1/2f_m , то становится ясно, что

.

Таким образом, при скорости отсчетов, превышающей скорость Найквиста, исходная функция может быть точно (с точностью до постоянного множителя) восстановлена по последовательности своиx дискретных значений с помощью идеального фильтра нижних частот.

3 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКИМИ ИМПУЛЬСАМИ

Дата добавления: 2015-07-19