Доверительный интервал

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ^⃰ служит оценкой неизвестного параметра Θ. Будем считать Θ постоянным числом (Θ может быть и случайной величиной). Θ^⃰ тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная величина разности | Θ-Θ^⃰ |. Другими словами, если δ > 0 и |Θ-Θ^⃰| <δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее.

Таким образом, положительное число δ характеризует точность оценки

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ^⃰ называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |Θ-Θ^⃰| <δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0.95, 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что |Θ-Θ^⃰| <δ равна γ

P(|Θ-Θ^⃰| <δ)=γ.

Заменив неравенство |Θ-Θ^⃰| <δ равносильным ему двойным неравенством -δ<Θ-Θ^⃰ <δ, или Θ^⃰ - δ<Θ < Θ^⃰ + δ получим

P(Θ^⃰ - δ<Θ < Θ^⃰ + δ)=γ.

Это соотношение будем понимать так: вероятность того, что интервал (Θ^⃰ - δ; Θ^⃰ + δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна γ.

Доверительным называют интервал (Θ^⃰ - δ; Θ^⃰ + δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Дата добавления: 2015-07-19