Читайте также:
|
|
Заменим вектор b 0 в задаче P на вектор . Получаем задачу Q (b).
Решение устойчиво, когда базис решения не меняется
двойственные оценки остаются постоянными
вектор остается решением задачи Q *(b).
Определение: Множество всех векторов b таких, что задача Q (b) разрешима и , назовем областью постоянства двойственных оценок (ОПДО) задачи Q (b).
Графически для двойственной задачи – решение остается постоянным при изменении вектора b, когда изменяется градиент целевой функции двойственной задачи (происходит поворот целевой функции вокруг оптимальной точки).
Оптимальная точка может иметь несколько альтернативных базисов.
Определение: Множество – это множество всех базисов β матрицы A 0 таких, что (здесь – базисная матрица для базиса β).
Для положим . Векторы соответствуют тем задачам Q (b), в которых базис β допустим.
Утверждение: .
Следствие 1: .
Следствие 2: Пусть . Тогда
.
Определение: Для любого базиса β матрицы A 0 и произвольного вектора определим как вектор такой, что и . Вектор есть базисное решение системы уравнений , порожденное базисом β.
Следствие 3: Если и , то вектор является решением задачи Q (b). При вектор , где и , является решением задачи Q (b).
Обычно описание ОПДО ограничивается описанием для оптимального базиса задачи P.
Теорема: Если – невырожденное решение задачи P и в этой задаче нет альтернативного решения, то .
Доказательство:
Пусть – невырожденное и единственное решение задачи P. Предположим, что . Тогда существует .
Приведем задачи P и Q (b) к базису .
Так как , то базис недопустим в задаче Q (b). Следовательно, среди элементов вектора есть хотя бы один неотрицательный.
В обоих задачах элементы γj в z -строке вычисляются через элементы матрицы A 0, вектора c 0 и вектора , значение которого не зависит от правых частей ограничений, поэтому они равны для обоих задач P и Q (b) и все неотрицательны, так как базис оптимален в задаче P.
Зафиксируем r, для которого . Уравнение с этим номером
Задача Q* (b) имеет решение , тогда задача Q (b) разрешима, ее решение неотрицательно. Тогда, поскольку x ≥ 0, а правая часть уравнения ,
то существует такой, что (иначе левая часть будет неотрицательна).
Далее хотим выполнить жорданово исключение с этим разрешающим элементом . Нужно выбрать номер s так, чтобы элементы преобразованной z -строки были неотрицательны . Тогда
Если , то неравенство выполнено. Пусть , тогда, разделив неравенство, получим
Следовательно, чтобы неравенство выполнялось для всех j, для которых , нужен максимум отношения
Так как , то – оптимум в задаче, а значение ЦФ в задачах Q* (b) и Q (b) равно .
Выбрав этот элемент и проведя жорданово исключение, приведем задачу к новому базису .
Пусть .
Из неотрицательности следует допустимость вектора в Q* (b).
После преобразования задачи к новому базису получим значение ЦФ в новой точке:
,
где вектор – оптимален, а вектор – допустим в задаче Q* (b).
Строгое неравенство невозможно, поэтому
.
Так как вычитаемое неотрицательно, оно равно нулю только при (так как и по выбору). Но отсюда у P есть альтернативное решение, что противоречит предположению единственности.
Тогда .
Данный метод называется двойственным симплекс-методом.
Теорема (общее описание ОПДО): .
Свойства векторов ОПДО:
· Если , то есть вектор двойственных оценок для задачи Q (b);
· Если , то , где ;
· Если , то вектор оптимален в задаче Q (b).
Прогноз максимального значения ЦФ
Как повлияет изменение правых частей ограничений на значение целевой функции.
Пусть , . Нужно проверить неравенства
(*)
Если они выполняются, то и максимум ЦФ изменится на .
Обратная задача: при каких значениях вектора оптимальное значение ЦФ в задаче Q (b) не меньше, чем заданное число f 0:
Корректировка оптимального решения
Пусть решение уже найдено и планируется или ожидается изменение вектора на вектор .
Если , то оптимум – и .
Частный случай: вариация правой части одного ограничения
Пусть изменяется правая часть только одного ограничения (с номером k):
и .
Найдем интересующие нас значения в .
Условие (*) в развернутой форме имеет вид
Подставив значения , получим систему линейных неравенств относительно одной переменной δ:
Множество решений этой совместной системы обозначим Dk. Тогда искомый диапазон изменения bk – это .
Вектор по построению. Поэтому , а решение задачи Q (b) определяется соотношением для и для .
Целесообразные изменения правых частей ограничений
Отношение называется нормой замены ингредиента l ингредиентом k.
Изменение правых частей происходит в ОПДО.
Рассматриваем систему с производством не менее bk ≥ 0 продукта k, потреблением не более bl ≥ 0 ресурса l.
Ограничения
Пусть и – двойственные оценки ограничений, не равные нулю.
Увеличение обязательств по производству на δk = δ ведет к ущербу .
Увеличение количества имеющихся ресурсов на ведет к выгоде
.
На какие дополнительные обязательства можно согласиться,
если ущерб покрывается выгодой?
Каковы пределы замены, чтобы оставаться в ОПДО?
Пусть и .
Вектор ; .
Система (*) запишется так:
Множество всех решений – это диапазон , для которых справедливы рассуждения о целесообразности замены.
Очевидно, что , поэтому в могут содержаться и отрицательные значения для – ситуация «обратная» замена.
Дата добавления: 2015-11-30; просмотров: 99 | Нарушение авторских прав