Случайные величины.

Случайная величина — это числовая функция, заданная на множестве элементарных событий.

Дискретная случайная величина. Величина называется дискретной случайной величиной, если все ее возможные значения образуют конечную или бесконечную последовательность чисел и если принятие ею каждого из указанных значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Возможное значение	X1	X2	…	Xk	…
Вероятность (p)	p1	p2	…	pk	…

Закон распределения вероятностей величины .

Закон распределения:

Рисунок — Закон распределения.

Для полной группы событий . (2.9)

Математическое ожидание: . (2.10)

Дисперсия: (2.11) характеризует меру отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Среднеквадратическое отклонение: . (2.12)

Непрерывная случайная величина:

а) Интегрирующая функция распределения:

б) Дифференцирующая функция распределения (плотность распределения вероятности):

Математическое ожидание: (2.13)

Дисперсия: (2.14)

Среднеквадратическое отклонение: (2.15)

Статистические оценки:

· Для математического ожидания дискретной случайной величины:

(2.16)

· Для дисперсии:

(2.17)

Законы распределения случайных величин:

Распределение Пуассона: (2.18)

Экспоненциальный закон: (2.19)

Нормальный закон: (2.20)

Рисунок — Правило “трех сигм”.

Правило "трех сигм" (для нормального закона распределения):

; (2.21)

В диапазоне ;

Центральная предельная теорема (А.М.Ляпунов, 1900г.):

Сумма достаточно большого количества независимых случайных величин, каждая из которых пренебрежимо мала по сравнению с суммой, стремится в пределе к нормально распределенной случайной величине.

Закон больших чисел:

C ростом числа событий N относительная частота события приближается к вероятности p этого события. Более строго, справедливо следующее утверждение:

для любого вероятность отклонения частоты от p на величину, меньшую , при приближается к 1, т.е. . (2.22)

Пример 1.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели; вероятность попадания для первого стрелка равна P{A} = 0,9, для второго: P{B} = 0,8.

Требуется определить вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение: .

Пример 2. Условная вероятность

Пусть в коробке находится N шаров, одинаковых на ощупь, но различающихся по цвету и по рисунку:

K — количество цветных шаров (N–K белых);

L — количество шаров с рисунком (N–L без рисунка);

M — количество цветных шаров с рисунком.

Допустим, что событие A — заключается в появлении цветного шара; событие B — в появлении шара с рисунком. Тогда A*B — появление цветного шара с рисунком.

Используя данные обозначения, можно записать:

— условная вероятность события B при условии осуществления события A.

Аналогично:

Для независимых случайных событий: ;

Пример 3.

Из колоды (36 карт) достают 2 карты. Какова вероятность того, что обе карты — это тузы?

Решение: Пусть A — появление 1–го туза; B — появление 2–го туза. Тогда вероятность вынуть 2 туза подряд:

, где P{A} — вероятность достать 1–й туз, P{B/A} — вероятность достать 2–й туз (при условии, что 1–я карта также была тузом).

Дата добавления: 2015-12-01