Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания.

Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b).

Определение 1. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (a, b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих интервалу (a, b) и таких, что x₁ < x₂ выполняется неравенство:

^{f (X}1⁾ < ^{f (X}2^{) (f (X}1⁾ > ^{f (X}2⁾⁾.

Определение 2. Функция y = f (x) называется невозрастающей

(неубывающей) на интервале (a, b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих

интервалу (a, b) и таких, что x₁ < x₂ выполняется неравенство:

^{f (x}i⁾ > ^{f (x}2^{) (f (x}i⁾ < ^{f (x}2 ⁾⁾

Возрастающая, убывающая, невозрастающая и неубывающая функции называются монотонными функциями.

Теорема 1 (признак монотонности функции). Если функция У = ^{f (x)} дифференцируема на интервале (a, b) и f (x) > 0 (f (x) < 0) на (a, b), то функция f (x) не убывает (не возрастает) на (a, b).

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈(х₁, x₂), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Дата добавления: 2015-12-01