Частотные характеристики последовательного колебательного контура

В радиотехнике и электросвязи большое значение имеет явление резонанса. Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным на­пряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами, или резонансными цепями.

Колебательные контуры и явления резонанса находят широкое применение в радиотехнике и электросвязи. Резонансные цепи яв­ляются составной частью многих радиотехнических устройств: из­бирательные цепи в радиоприемниках и усилителях, частотно-за­висимые элементы автогенераторов, фильтров, корректоров, дру­гих устройств. Для получения высоких технико-экономических по­казателей (избирательности, полосы пропускания, коэффициента прямоугольности, равномерности и т. д.) резонансные цепи должны иметь достаточно сложную структуру (многоконтурные связанные цепи, активные резонансные системы и др.). Некоторые из этих систем будут рассмотрены в гл. 15, 17. В настоящей главе изучим основные особенности работы цепей в режиме резонанса на примере простейших колебательных контуров.

Простейший колебательный контур содержит индуктивный и емкостный элементы, соединенные последовательно {последова­тельный контур) или параллельно (.параллельный контур). В последнее время широкое распространение получили резонансные цепи на базе операционных усилителей (ОУ). Различают два ти­па резонансов: напряжений и токов. В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном — резонанс токов.

Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.

На рис. 4.5 изображена схема последовательного контура с ре­активными элементами L и С и резистивным сопротивлением R, ха­рактеризующим потери в контуре. Приложим к контуру гармо­ническое напряжение с частотой ω. Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется согласно урав­нению

На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто активный характер, т. е. Z = R, ток совпадает по фазе с прило­женным напряжением и достигает максимального значенияIо = U /R. Реактивные сопротивления контура на резонансной часто­те ω₀ равны друг другу:

Величина ρ носит название характеристического сопротивле­ния контура.

Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура, которая в общем случае определяется величиной

где W_p — максимальные значения реактивной энергии, запасен­ной в контуре при резонансе; W_T — активная энергия, поглощае­мая в контуре за период Т. Величина, обратная добротности, на­зывается затуханием контура и обозначается d:

Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных контуров от 10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла параметра Q исследуем энергетические соотношения в контуре при резонансе. Положим, например, что при резонансе ток в цепи Определим согласно (1.10) и (1.13) сумму энергий электрического и магнитного полей:

так как уменьшение WL сопровождается увеличением We и нао­борот. Таким образом,

происходит периодический обмен энергией между элементами I и С без участия источника. Энергия источ­ника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при резонансе не потребляется.

Активная энергия, рассеиваемая в контуре за период Т, равна

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз ре­зонансные напряжения на реактивных элементах превышают при­ложенное напряжение. Отсюда следует и термин «резонанс напря­жений». Это свойство контура «усиливать» приложенное напря­жение резонансной частоты широко используется на практике.

Величины ρ, ω_о, Q, d являются вторичными парамет­рами контура в отличие от ве­личин R, L, С называемых первичными.

Анализируя характер урав­нений напряжений и токов в RLC-цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоничес­ком воздействии нетрудно ви­деть, что они являются частотно-зависимыми. Эта зави­симость вытекает непосредст­венно из зависимости реактив­ных элементов XL И ХС. ОТ

Из представленных характеристик следует, что при ω <ω₀ цепь имеет емкостный характер (Х<0; φ <0)И ТОК опережает по фазе приложенное напряжение при ω >ω₀ характер цепи индуктивный (X > 0; φ > 0) и ток отстает по фазе от приложенного напряжения; при со = соо наступает резонанс напряжений (X = 0; φ = 0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротив­ление цепи принимает при этом минимальное значение Z = R.

Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти из уравнения (4.18)*:

Зависимости I(ω), UL(ω), U_C(ω) называются резонансными характеристиками тока и напряжений. Анализ зависимости I(ω) показывает, что она достигает максимума при резонансе ω =ω₀

Выходное напряжение обычно снимается с емкостного или ин­дуктивного элемента контура. В соответствии с этим представляет наибольший практический интерес КПФ по напряжению относи­тельно элементов С и L:

Анализ полученных зависимостей показывает, что с увеличе­нием добротности Q (уменьшением затухания d) частоты ωс и ω_L сближаются с резонансной частотой ω_о.При этом C_Cт и H_Lm воз­растают.

Степень отклонения режима колебательного контура от резо­нанса принято оценивать абсолютной, относительной и обобщен­ной расстройками. Отклонение от резонансного режима может происходить в результате изменения частоты; задающего генератораили вариации параметров контура.

Расстройки определяются следующим образом:

абсолютная

\

Наиболее широко в теоретических исследованиях применяется обобщенная расстройка ζ, так как ее использование существенно упрощает расчет. Например, модуль входной проводимости можно записать через обобщенную расстройку ζ, в форме

Важной характеристикой колебательного контура является по­лоса пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропус­кания называют диапазон частот в пределах которого коэффициент передачи уменьшается в √2 раз по сравнению с максимальным*. Абсолютная полоса пропускания равна

Уравнения (4.50) могут быть положены в основу эксперимен­тального определения добротности по резонансной кривой тока I(ω). Формула (4.50) показывает, что чем выше добротность Q, тем меньше полоса пропускания и наоборот. Причем, поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то подклю­чение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внут­ренним сопротивлением приводит к расширению полосы про­пускания.

Пример. Определить полосу пропускания контура, нагруженного на резистивное сопротивление R_н (рис. 4.11, й).

Преобразуем параллельный участок С и R_H в эквивалентный последова­тельный с помощью формул (3.56):

т. е. при подключении высокоомной нагрузки к контуру его резонансная час­тота не изменяется, но увеличиваются потери в контуре (рис. 4.11, б). При этом уменьшается добротность Q' = p/(R+R_H’) и увеличивается полоса про­пускания контура (4.10).

В заключение следует отметить, что на практике обычно ис­пользуются высокодобротные контуры, причем низкоомные нагруз­ки подключаются к контурам через различные согласующие уст­ройства (трансформаторы, повторители и др.). Для получения вы­соких качественных характеристик (большого входного и низкого выходного сопротивлений, высокой добротности, малой чувстви­тельности резонансной частоты и выходного сигнала от нагрузки) применяют электронные аналоги колебательных контуров, реали­зуемых на базе зависимых источников. На рис. 4.12 изображена схема колебательного контура, реализованного на базе ARC-звена, второго порядка (рис. 3.37, а), где принято Y₁ = G₁; Y₂ =jωC₂; Y₃ ⁼ Gз; Y₄ = G₄; Y₅ = jωC₅. При этом комплексная передаточная функция цепи с учетом (3.138)

где т. е. (4.52) совпадает с (4.51) с точностью до постоянных множителей.

Таким образом, с помощью рассмотренной активной цепи мож­но получить электронный аналог колебательного контура. На базе активных элементов можно реализовать и другие схемы электрон­ных аналогов колебательных контуров, важным преимуществом которых является отсутствие индуктивностей, высокое значение добротности, слабо зависящей от нагрузки, легкость перестройки.

Дата добавления: 2015-12-01