Вывод расчетной формулы

В задачу данной лабораторной работы входит определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба. Деформация изгиба в наиболее простой форме возникает в стержне прямоугольного или квадратного сечения, причем в зависимости от положения точек опоры стержня и способа его закрепления возможны три основных случая (рис.2а, 2б, 2в).

Во всех случаях изгиба деформация определяется «стрелкой прогиба» l, т.е. тем расстоянием, на которое опускается точка приложения силы, действующей на стержень. Стрелка прогиба зависит от величины нагрузки размеров стержня и формы поперечного стержня, а так же от модуля упругости материала стержня.

Рассмотрим первый случай изгиба (рис.3), т.е., допустим что прямой горизонтальный стержень длиной l с прямоугольным сечением закреплен одним концом неподвижно, а на втором конце имеет нагрузку Р, действующую вертикально. Боковые стороны поперечного сечения стержня расположены вертикально. Следовательно, нагрузка действует параллельно боковым сторонам сечения (высоте сечения) и перпендикулярно двум другим сторонам (ширине сечения). Размеры этих сторон обозначим «b» и «a».

Весом самого стержня мы пренебрегаем и допускаем, кроме того, что при изгибе верхняя и нижняя грани стержня принимают форму цилиндрических поверхностей.

Рис. 2. Деформации изгиба длинного стержня

Известно, что при изгибе стержня слои, лежащие выше некоторого «нейтрального» уровня ОО, удлиняются а слои, лежащие ниже его, укорачиваются; таким образом, при деформации изгиба слои, лежащие ближе к вогнутой стороне, сжимаются. Следовательно, напряжения, возникающие в стержне при изгибе, определяются деформациями растяжения и сжатия. Между зонами растяжения и сжатия, очевидно, должен лежать бесконечно тонкий слой ОО, длина которого при изгибе не меняется. Этот слой и называется нейтральным.

Так по закону Гука растяжения и сжатия по абсолютной величине должны быть одинаковы, то нейтральный слой проходит по середине высоты стержня, образуя цилиндрическую поверхность концентрически расположенную с его выпуклой и вогнутой стороной.

Напряжение в стержне, величина которого во всех точках нейтрального слоя равна нулю, постепенно возрастают по мере удаления от него в ту другую сторону, достигая наибольшего значения на его внешних поверхностях.

Для определения стрелы прогиба l (рис.3) рассмотрим какое-нибудь поперечное сечение нашего прямоугольного стержня. Далее в нашем участке стержня dx выделим некоторый бесконечно малой величины слой , расположенный на расстоянии у от нейтрального слоя (рис.3). Этот слой лежит в верхней половине стержня и при деформации удлиняется. Удлинение его dl выразится так:

(3)

Рис. 3. Деформация изгиба

Это удлинение создается действием силы dF, которая может быть определена из формулы (2):

(4)

где S= – площадь поперечного сечения деформируемого слоя. Подставляя в формулу (4) значения S и dl получим:

(5)

Момент этой силы относительно нейтрального слоя равен

т.е. (6)

Для вычисления момента силы , вызывающего растяжения стержня по всей верхней половине его поперечного сечения, следует взять сумму элементарных моментов сил для всей верхней части стержня в пределах от y = 0 (нейтральный слой) до y = b/2

(7)

Нижняя половина стержня подвергается деформации сжатия. Одностороннее сжатие можно рассматривать как деформацию, противоположную продольному растяжению, и применять знака деформации. В результате при вычислении момента силы, вызывающего сжатие нижней половины стержня, для него получается совершенно такое же выражение (7).

Отсюда следует, что момент силы, вызывающий деформацию по всему сечению стержня, равен удвоенному моменту силы , т.е.

(8)

При равновесии стержня вращающий момент, вызываемый напряжениями в сечении S, должен быть равен моменту внешней силы, т.е. , где Р – нагрузка, вызывающая деформацию стержня.

Следовательно:

(9)

Принимая во внимание, что элемент стрелы прогиба dl = xdy, исключим из уравнения (9) величину dy и получим: , откуда

(10)

Для определения полной стрелы прогиба следует проинтегрировать выражение (10) по х в пределах от 0 до l. Вынося величины, не зависящие от переменной х за знак интеграла, получим:

(11)

Формула (11) определяет стрелу прогиба l для случая, изображенного на рис.2а.

Для случая изгиба, изображенного на рис.2б, действие нагрузки Р передается на две неподвижные опоры, каждая из которых оказывает на концы стержня противодействие, равное половине нагрузки Р, т.к. нагрузка приложена посередине между опорами. Таким образом, каждый из концов стержня находится под действием изгибающей силы Р/2, точка приложения которой отстоит от середины стержня на расстоянии , - расстояние между опорами. Можно считать, что стержень в этом случае (рис.2б) находится в таких условиях, что его середина как бы закреплена, а на каждый из концов действует в направлении вверх сила Р/2, которая отстоит от точки закрепления стержня на расстоянии .

Если применить форму (10) для стержня, который обоими концами свободно положен на твердые опоры, пределы интегрирования следует брать от 0 до и вместо Р подставить Р/2, то для стрелы прогиба получим: .

Отсюда:

(12)

Если ввести величину - стрела прогиба, соответствующая единичной нагрузке, тогда

(13)

где l – расстояние между опорами,

a – ширина образца,

b – высота образца (размер, параллельный действию нагрузки),

l - стрела прогиба, соответствующая нагрузка в (СИ).

Выражение (13) является расчетной формулой работы.

Дата добавления: 2015-11-30