Доказательство достаточности критерия будем строить по индукции.

Необходимость критерия доказать очень легко.

Если кв. форма от n переменных x₁,x₂,...x_n положительно определена, то все собственные числа матрицы коэффициентов A положительны, а определитель Δ_n = det(A) равен произведению собственных чисел матрицы A, потому тоже положителен.

Если теперь положить переменную x_n = 0, то получим кв. форму от (n-1) переменной, тоже положительно определенную (легко от противного доказать), у которой свои собственные числа (уже другие), тоже больше нуля и потому определитель ее матрицы тоже больше нуля. А матрица ее как раз получается вычеркиванием из A последних столбца и строки, так что ее определитель - это и есть Δ_n-1.

Ну и так далее, вплоть до кв. формы от одной переменной a₁₁x₁² и матрицы, состоящей из одного числа a₁₁.

Доказательство достаточности критерия будем строить по индукции.

Очевидно, что форма y = a₁₁x₁² условием Сильвестра a₁₁ > 0 положительно определена.

Отсюда мы собираемся получить, что следующее условие Δ₂ >0 гарантирует положительную определенность формы y = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² (матрица которой как раз и написана в миноре Δ₂ - см. выше).

Затем отсюда собираемся получить, что условие Δ₃ >0 гарантирует положительную определенность соответствующей кв. формы от трех переменных x₁,x₂,x_3.

И так далее.

Но вместо того, чтобы все эти шаги осуществлять отдельно, мы их рассмотрим в общем виде.

Дано: положительно определенная форма k переменных. Ее матрица A симметрична и имеет, естественно, k строк и столбцов.

Добавим к этой матрице (k+1)-ые одинаковые между собой строку и столбец такие, что получившаяся при этом симметричная матрица B имеет положительный определитель.

Рассмотрим соответствующую ей квадратичную форму X^T BX от (k+1) переменной x₁,x₂,...x_k,x_k+1.

В матрице B левая верхняя подматрица k порядка есть матрица A коэффициентов положительно определенной квадратичной формы от к переменных. Положительно определенную форму можно невырожденной заменой переменных превратить в сумму квадратов с коэффициентами при них, равными 1. Обозначим S матрицу этого преобразования k переменных x₁,x₂,...x_k.

Теперь составим матрицу C замены (k+1) переменной x₁,x₂,...x_k , x_k+1 на новые переменные u₁,u₂,...u_k , u_k+1. В качестве левой верхней подматрицы k порядка возьмем S. Справа и снизу к S допишем нули (добавим одну строку нулей снизу и один столбец нулей справа), а последний диагональный элемент (правый нижний) в матрице C возьмем равным 1.

Построенная нами матрица C соответствует преобразованию S над первыми k переменными и простой замене буквы для последней, k+1 переменной.

Используем C для замены переменных X=CU в квадратичной форме X^TBX

Вычисляя новую матрицу D= C^TBC, используя при этом навык умножения блочных матриц, получим матрицу D следующей структуры:

Т.е. левая верхняя подматрица k порядка - единичная. Это за счет подматрицы S. Она обеспечивает S^TAS=E. За ней справа идет столбец высоты k, полученный умножением S^T на первые k чисел последнего столбца матрицы B. Под ней идет строка, равная транспонированному столбцу, описанному только что. И наконец число в правом нижнем углу унаследовано от матрицы B без изменений. Все это можно получить отслеживанием что на что умножается по хорошо известному нам правилу умножения матриц "строка на столбец".

Для нас важно то, что знак определителя матрицы D такой же, как знак определителя матрицы B, потому что det(D)= det(C^TBC) = det(B)(det(C))².

Отсюда делаем вывод, что det(D) > 0.

Дальнейшее очевидно. Методом Гаусса по строкам и столбцам (см. выше) обнуляем все числа в последних столбце и строке матрицы D, кроме правого нижнего числа. Оно в итоге будет равно определителю det (D), поскольку прибавление к строке (столбцу) копии другой строки (столбца), умноженной на любое число, не меняет определителя матрицы. А с другой стороны матрица-то получится диагональная, причем первые k чисел на диагонали = 1.

В итоге получается, что мы привели нашу квадратичную форму двумя последовательными невырожденными преобразованиями (т.е. взаимнооднозначной заменой переменных) к сумме квадратов, в которой первые k квадратов имеют коэффициент 1, а последнее слагаемое имеет коэффициент det(D)=det(B)(det(C))² >0

Т.е. кв. форма от k+1 переменной положительно определена.

База индукции выполнена.

Шаг индукции доказан в общем виде.

Ч.Т.Д.

Дата добавления: 2015-11-30