Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Условия убывания и возрастания функции .

Читайте также:
  1. A. Причину и условия развития заболевания
  2. He забывайте употреблять настоящее время вместо будущего в придаточных предложениях времени и условия после союзов if, when, as soon as, before, after, till (until).
  3. II. Основные факторы, определяющие состояние и развитие гражданской обороны в современных условиях и на период до 2010 года.
  4. II. Порядок и условия проведения
  5. II. УСЛОВИЯ И ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ КОНКУРСА
  6. II. Условия и порядок проведения Фестиваля
  7. II. Условия предоставления коммунальных услуг

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»

 

 

Чебоксары 2003

 

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции . 4. Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат

Условия убывания и возрастания функции.

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функция называется возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.3

Функция называется убывающей в точке , если для всех достаточно близком , и если для всех достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция называется возрастающей в точке . Если для всех достаточно близком и для всех достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция убывает на (a;b) тогда и только тогда, когда убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция возрастает на (a;b) тогда и только тогда, когда возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью при переходе через .

Теорема 1.4

Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда график функции выходит из круга, ограниченного окружностью при переходе через .

Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3 и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной.

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику в точке М.

Теорема 1.5

Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой, то есть (1.5)

Теорема 1.6

Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7), где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2= (1.6) По формуле угла между двумя прямыми: tg (1.7)

Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть (1.8)

Теорема 1.8

Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда имеет место неравенство tg (1.9)

 

Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем: k1=tg k2= =

2. По формуле (1.9), имеем: , то есть >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая

Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем: k1=tg

k2= =

2.По формуле (1.7), имеем:

, то есть -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является функция .

Решение:

  1. По формуле (1.6) найдем k1 и k2:

 

 

  1. Имеем:
  2. Получили при tg >0, 0 функция возрастающая;приtg , функция убывающая.

4. - точка максимума; - точка максимума.

5.Функция в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1. Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .

Запишем неравенство:

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.10)

2. Функция - убывающая.

Запишем неравенство:

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство: . k1=tg k2= Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.12)

4. Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство: tg .

Запишем неравенство:

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.13)

5. Возьмем функцию , функция возрастает на . Поэтому выполняется неравенство .

Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

(1.14)

6. Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство: tg

Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях справедливо неравенство:

. (1.15)


Дата добавления: 2015-11-14; просмотров: 30 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
гелевой композиции медицинского назначения| Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)