г. Санкт-Петербург

В области эксплуатации и управления воздушным транспортом

Академия гражданской авиации

ФОНД КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

(вопросов и эталонных ответов)

по дисциплине:

"ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ НА ТРАНСПОРТЕ"

Специальность: "Организация перевозок и управление на

транспорте"

Специализация: "Организация перевозок и управление в

единой транспортной системе".

Специальность: "Организация перевозок и управление на

воздушном транспорте"

Одобрено Пленумом УМО по образованию в области эксплуатации и управления воздушным транспортом.

г. Санкт-Петербург

ФОНД ЭТАЛОННЫХ ВОПРОСОВ

1. Основные элементы СМО, их определения.

2. Время обслуживания заявки, его характеристики.

3. Определение характеристик времени обслуживания по экспериментальным данным.

4. Входной поток заявок, описание с помощью интервалов между прибытиями. Простейший пуассоновский поток.

5. Расчёт характеристик пуассоновского потока. Поток пассажиров, прибывающих в аэропорт для отправления, образует простейший поток с интенсивностью l=2 пассажира в минуту. Найти:

a) Вероятность того, что в течение 10 минут не прибудет ни одного пассажира;

b) Среднее количество пассажиров, прибывших за 1 час работы аэропорта.

6. Статическая обработка потоков. Пример. Дана выборка (в мин.) интервалов между прибытиями самолётов в аэропорт:

5, 12, 6, 4, 8.

Найти:

1) Среднее значение, дисперсию и среднеквадратичное отклонение интервала между прибытиями;

2) Интенсивность входного потока самолётов.

7. Характеристики многоканальной СМО без накопителя.

8. Условие того, что СМО с бесконечной ёмкостью накопителя справляется с обслуживанием.

9. Определение числа обслуживающих аппаратов из условия конечности очереди. Агентство по продаже авиабилетов располагает n=2 кассами. Среднее время продажи билетов одним кассиром равно l=3 мин.

1) Справляется ли агентство с обслуживанием пассажиропотока?

2) Какое число касс минимально необходимо, чтобы агентство справлялось с обслуживанием?

10. Формулировка задачи линейного программирования при ограничениях типа неравенств. Свойства решений.

11. Формулировка задачи линейного программирования при ограничениях типа равенств.

12. Найти максимум функции z=2x₁+х₂ при ограничениях:

a) x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0;

b) 3х₁ + 2х₂ ≤ 6.

13. Формулировка транспортной задачи с правильным балансом.

14. Отыскание опорного плана в транспортной задаче. Задана транспортная таблица:

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	Предложение
А1
А2
А3
Спрос

Требуется найти опорный план методом Северо-западного узла.

Обсужден на заседании кафедры №30 "Интермодальных перевозок и логистики"

протокол № от " ___ "__________ 2001 г.

Зав. каф., док. техн. наук, профессор Ю.И. Палагин

ФОНД ЭТАЛОННЫХ ОТВЕТОВ

Задание №1

Основные элементы СМО, их определения.

Эталонный ответ.

Обслуживанием называется процесс удовлетворения какой-либо общественной потребности, например, продажа авиабилетов пассажиру, регистрация пассажира, перевозка груза, заправка горючим.

Устройства (технические средства, системы, оборудование, обслуживающий персонал), которые непосредственно реализуют функцию обслуживания называются обслуживающими аппаратами (касса, регистрационная стойка).

Обслуживающий аппарат образует канал обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) называются много или одноканальными по числу каналов обслуживания.

Общественная потребность выражается в виде заявки на обслуживание. Заявки, поступающие последовательно во времени, образуют поток заявок называемый входным потоком. Например, поток пассажиров, поток воздушных судов, пребывающих в аэропорт.

Дисциплина обслуживания – порядок обслуживания поступивших заявок. Обслуживанием без приоритета называется обслуживание заявок по мере их поступления.

Поступившая заявка может обслуживаться немедленно или встать в очередь. Место, где заявки ожидают начала обслуживания, называется накопителем (зал пассажиров, часть автомобильной дороги, подъездные пути, склад, область на магнитной ленте, диске ЭВМ).

Если заявка покидает СМО, не получив (или не дождавшись) обслуживания, то говорят, что заявка получила отказ в обслуживании.

Поток заявок, покидающих систему, называется выходным потоком. Выходной поток состоит из потока отказов и потока обслуженных заявок.

Система – это совокупность элементов, связанных между собой и функционирующих совместно для достижения общей цели. СМО – это система, элементами которой являются: входной и выходной потоки, обслуживающие аппараты, очередь, накопитель, дисциплина обслуживания.

Целью СМО является обслуживание потока заявок с наилучшим качеством, эффективностью. Количественные показатели качества обслуживания называются критериями эффективности. Такими критериями являются вероятность отказа в обслуживании, затраты на обслуживание, прибыль, доход, время ожидания обслуживания, их вероятностные характеристики – математическое ожидание, дисперсия.

Задание №2

Время обслуживания заявки, его характеристики.

Эталонный ответ.

Время обслуживания – основная характеристика обслуживания аппаратов в теории массового обслуживания. Временем обслуживания называется время ¡, в течении которого обслуживается одна заявка. Время обслуживания - случайная величина. Её полной характеристикой является плотность распределения f(x). Наиболее распространённым законом для описания времени обслуживания является показательный закон:

¦(х) = b е ^-bх , х ³ 0,

где b > 0 - параметр закона распределения.

Средним временем обслуживания называется математическое ожидание времени обслуживания. Эта величина равна:

М¡= .

Интенсивностью обслуживания μ называется среднее число заявок, обслуженное одним обслуживающим аппаратом в единицу времени. Интенсивность обслуживания обратна среднему времени обслуживания:

μ = = β

Таким образом, параметр β в выражении для плотности распределения равен интенсивности обслуживания.

Задание №3

Определение характеристик времени обслуживания по экспериментальным данным.

Эталонный ответ.

Основным источником исходной информации о характеристиках обслуживающих аппаратов является эксперимент или данные о времени обслуживания заявок, полученные в процессе эксплуатации (выборка):

По выборке методами математической статистики оцениваются характеристики времени обслуживания:

- среднее время обслуживания:

);

- интенсивность обслуживания:

;

- дисперсия времени обслуживания:

s² ;

Для оценки плотности распределения используется гистограмма.

Задание №4

Входной поток заявок, описание с помощью интервалов между прибытиями. Простейший пуассоновский поток.

Эталонный ответ.

В теории массового обслуживания входной поток заявок описывается в терминах интервалов между прибытиями:

t₁, t₂, t₃, …, t_к

где t_к – промежутки времени между последовательными заявками (например, - прибытиями пассажиров в аэропорт, воздушных судов, прибывающих на посадку). Величины t₁, t₂,… - являются случайными.

Поток заявок называется потоком с ограниченным последействием, если все величины t_к – независимы между собой. Поток называется простейшим (или пуассоновским), если закон распределения t_к – показательный с плотностью распределения:

¦(х) = l е ^-lх , х ³ 0,

где l>0 – параметр, называемый интенсивностью потока. Величина l равна среднему числу заявок (пассажиров, воздушных судов), прибывающих в единицу времени.

В теории случайных процессов показывается, что для простейшего потока закон распределения числа поступивших заявок на промежутке [ t, t + Dt ] подчиняется закону Пуассона с параметром а = l Dt, т.е. вероятность Р_к того, что появится ровно k заявок вычисляется по формуле:

Р_к = ; к = 0, 1,…

Задание №5

Расчет характеристик пуассоновского потока.

Поток пассажиров, прибывающих в аэропорт для отправления, образует простейший поток с интенсивностью l=2 пассажира в минуту. Найти:

a) Вероятность того, что в течение интервала Dt. = 10 минут не прибудет ни одного пассажира;

b) Среднее количество пассажиров, прибывших за 1 час работы аэропорта.

Эталонный ответ.

По свойству простейшего потока, число пассажиров, прибывающих в аэропорт, имеет закон распределения Пуассона с параметром

а = l Dt.

Закон распределения Пуассона означает, что случайная величина принимает дискретные значения 0, 1, 2, …, k, …, с вероятностями

Р_к = ; к = 0, 1,…

a) В данном случае величина параметра равна:

а = 2 пас/мин * 10 мин = 20 пас.

Вероятность отсутствия пассажиров в течении 10-минутного промежутка равна:

Р₀ = е^-а = е^-20

b) Среднее число пассажиров равно:

а = l Dt = 2 пас / мин * 60 мин = 120 пас

Задание №6

Статистическая обработка потоков. Пример.

Дана выборка интервалов (в мин) между прибытиями самолетов в аэропорт:

5, 12, 6, 4, 8.

Найти:

1) Среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение интервала между прибытиями;

2) Интенсивность входного потока самолетов.

Эталонный ответ.

1. Среднее значение интервала между прибытиями равно:

7 мин.

2. Дисперсия интервала между прибытиями равна:

s² 10 мин²

3. Среднеквадратическое отклонение равно:

мин.

4. Интенсивность входного потока равна:

мин^-1.

Задание №7

Характеристики многоканальной СМО без накопителя.

Эталонный ответ.

Исходными характеристиками СМО являются:

- n – число обслуживающих аппаратов;

- l - интенсивность входного потока заявок;

- m - интенсивность обслуживания.

Вероятность Р₀ того, что в СМО в заданный момент времени отсутствуют заявки (система свободна) вычисляется по формуле:

Р₀ =

где - относительная интенсивность.

Вероятность Р_к того, что в СМО в данный момент времени на обслуживании находится К заявок равна:

Р_к = , к = 1, 2, 3,…, n.

Вероятность отказа заявке в обслуживании равна:

Р_отк = Р_n =

Вероятность обслуживания заявки равна:

Р_обсл = 1-Р_отк

Пропускная способность СМО определяется формулой:

А = l*Р_обсл

Задание №8

Условие того, что СМО с бесконечной емкостью накопителя справляется с обслуживанием.

Эталонный ответ.

Это условие имеет вид неравенства:

l < n m, (1)

где l -интенсивность входного потока заявок, n – число обслуживающих аппаратов, m - интенсивность обслуживания.

Здесь величина nm характеризует суммарную производительность обслуживающих аппаратов, - среднее количество заявок, которое могут обслужить все n обслуживающих аппаратов. Условие (1) означает, что суммарная производительность ОА должна быть выше среднего числа заявок, поступающих в единицу времени на обслуживание.

Выражение (1) называется также условием конечности очереди. Если это условие не выполняется, в СМО неограниченно увеличивается очередь.

Задание № 9

Определение числа обслуживающих аппаратов из условия конечности очереди.

Агентство по продаже авиабилетов располагает n=2 кассами. Среднее время продажи билетов одним кассиром равно l=3 пас/мин.

1. Справляется ли агентство с обслуживанием пассажиропотока?

2. Какое число касс минимально необходимо, чтобы агентство справлялось с обслуживанием?

Эталонный ответ.

Интенсивность обслуживания равна:

m = пас/мин

Условие того, что система массового обслуживания справляется с обслуживанием, имеет вид:

l < n*m

Поскольку правая часть неравенства равна , то, очевидно, что неравенство не выполняется.

Таким образом, агентство при n=2 работающих касс не справляется с обслуживанием пассажиропотока заданной интенсивности.

Минимально необходимое число касс должно удовлетворять неравенству:

n >

Следовательно, минимально необходимо n=3 касс.

Задание №10

Формулировка задачи линейного программирования при ограничениях типа неравенств. Свойства решений.

Эталонный ответ.

Задача формулируется так:

Требуется найти значения переменных x ₁, x₂, x₃, …, x_n, обеспечивающие оптимальные значения (максимум или минимум) линейной целевой функции:

Z = c₁ x₁ + c₂ x₂ +…+ c_n x_n

при линейных ограничениях:

a) x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, …, x_n ≥ 0;

b) a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +…+ a_n x_n ≤ b,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +…+ a_2n x_n ≤ b,

………………………..

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +…+ a_mn x_n ≤ b.

Решения обладают следующими свойствами:

1. Область допустимых значений является выпуклым многогранником.

2. Экстремум (если он существует) достигается в одной из вершин многогранника.

Задание №11

Формулировка задачи линейного программирования при ограничениях типа равенств.

Эталонный ответ.

Требуется найти значения переменных x₁, x₂, x₃, …, x_n, обеспечивающие оптимальные значения (максимум или минимум) линейной целевой функции

Z = c₁ x₁ + c₂ x₂ +…+ c_n x_n

при линейных ограничениях:

a) x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, …, x_n ≥ 0;

b) a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +…+ a_n x_{n =} b,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +…+ a_2n x_{n =} b,

………………………..

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +…+ a_mn x_{n =} b.

где c_i, a_ij, b_i – заданные числа

Задание №12

Найти максимум функции z=2x₁+x₂ при ограничениях:

a) x₁≥0, x₂≥0;

b) 3x₁+2x₂≤6.

Эталонный ответ.

1. Данная задача является задачей линейного программирования с ограничениями типа неравенств.

2..Область допустимых решений является прямоугольным треугольником, катеты которого образованы отрезками координатных осей, а гипотенуза - отрезком прямой

3x₁+2x₂=6 (1)

Одна из вершин треугольника - начало координат А(0,0), две другие точки В и С - точки пересечения прямой (1) с координатными осями. Точки В и С имеют следующие координаты: В(0,3); С(2,0).

3. По свойству решений задачи линейного программирования,максимум достигается в одной из вершин треугольника. Значения целевой функции в вершинах треугольника равны:

z_a = 0, z_b = 2*0+1*3 = 3, z_c = 2*2+0 = 4.

Отсюда следует, что максимальное значение целевой функции равноz_max=4, а точкой максимума является точка С(2,0) с координатами x₁ = 2, x₂ = 0.

Задание №13

Формулировка транспортной задачи с правильным балансом.

Эталонный ответ.

Пусть имеется m пунктов отправления, в каждом из которых находится однотипная продукция в количествах: a_1, a₂, …, a_m единиц. Эту продукцию нужно доставить в n пунктов назначения в количествах: b_1, b₂, …, b_n единиц соответственно. Известна стоимость перевозки C_ij единицы продукции из i-ого пункта отправления в j-ый пункт назначения.

Требуется решить какое количество продукции нужно перевозить из i-ого пункта отправления в j-ый пункт назначения так, чтобы суммарная стоимость перевозки была бы минимальной.

Для сбалансированной задачи спрос равен предложению, т.е. выполнено условие:

Задача сводится к задаче линейного программирования с ограничениями типа равенств. Введём переменные x_ij - количество продукции перевозимой из i-ого пункта отправления в j-ый пункт назначения. Вся совокупность переменных x_ij образует прямоугольную матрицу:

X = (x_ij ), i =1,2, …,m; j=1,2,…,n,

которая называется планом перевозки. Требуется найти оптимальный план, т.е. значения переменных x_ij, обращающие в минимум целевую функцию вида:

Z =

означающую суммарную стоимость перевозки при ограничениях вида:

1. х_ij ³ 0;

2. , i = 1, 2,…, m;

3. , j = 1, 2,…,n.

Условие 1 означает неотрицательность переменных.

Условие 2 означает, что вся продукция в каждом из m пунктов отправления вывезена полностью.

Условие 3 означает, что все заявки получателей удовлетворены в полном объеме.

Задание №14.

Отыскание опорного плана в транспортной задаче.

Задана транспортная таблица:

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	Предложение
А1
А2
А3
Спрос

Требуется найти опорный план методом Северо-западного угла.

Эталонный ответ.

Задача является сбалансированной – суммарный спрос равен суммарному предложению. Расширения транспортной таблицы путем введения фиктивных (ПО или ПН) не требуется. Опорный план имеет следующий вид:

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	Предложение
А1
А2
А3
Спрос

Дата добавления: 2015-11-14