Интервальное оценивание генеральной доли

(вероятности события)

Для определения вероятностей интересующих нас событий мы применяем выборочный метод: проводим n независимых экспериментов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) событие А (вероятность р появления события А в каждом эксперименте постоянна). Тогда относительная частота появлений событий А в серии из n испытаний принимается в качестве точечной оценки для вероятности p появления события А в отдельном испытании. При этом величину называют выборочной долей появлений события А, а р — генеральнойдолей.

В силу следствия из центральной предельной теоремы (теорема Муавра-Лапласа) относительную частоту события при большом объеме выборки можно считать нормально распределенной с параметрами и

Поэтому при доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя формулы (5.2)–(5.4):

(5.6)

где находится по таблицам функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности

При малом объеме выборки предельная ошибка определяется по таблице распределения Стьюдента

(5.7)

где и число степеней свободы вероятность (двустороння область).

Формулы (3.6), (3.7) справедливы, если отбор проводился случайным повторным образом (генеральная совокупность бесконечна), в противном случае необходимо сделать поправку на бесповторность отбора (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Средняя ошибка выборки для генеральной доли

Генеральная совокупность	Бесконечная	Конечная объема N
Тип отбора	Повторный	Бесповторный
Средняя ошибка выборки

Пример 3. С помощью случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочный опрос 900 своих служащих. Среди опрошенных оказалось 270 женщин. Постройте доверительный интервал, с вероятностью 0.95 накрывающий истинную долю женщин во всем коллективе фирмы.

Решение. По условию выборочная доля женщин составляет (относительная частота женщин среди всех опрошенных). Так как отбор является повторным, и объем выборки велик предельная ошибка выборки определяется по формуле

Значение находим по таблице функции Лапласа из соотношения т.е. Функция Лапласа (приложение 1) принимает значение 0.475 при Следовательно, предельная ошибка и искомый доверительный интервал

Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0.12 до 0.48.

Пример 4. Владелец автостоянки считает день «удачным», если автостоянка заполнена более, чем на 80 %. В течение года было проведено 40 проверок автостоянки, из которых 24 оказались «удачными». С вероятностью 0.98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли «удачных» дней в течение года.

Решение. Выборочная доля «удачных» дней составляет

По таблице функции Лапласа найдем значение при заданной

доверительной вероятности

Считая отбор бесповторным (т.е. две проверки в один день не проводилось), найдем предельную ошибку:

где (дней). Отсюда

и доверительный интервал для генеральной доли

С вероятностью 0.98 можно ожидать, что доля «удачных» дней в течение года находится в интервале от 0.43 до 0.77.

Дата добавления: 2015-11-14