Задачи для самостоятельного решения. 9.1. Трактриса задана отображением :

9.1. Трактриса задана отображением :

,

где - трехмерное евклидово пространство.

Определить класс гладкости . Является ли трактриса плоской кривой?

9.2. Для плоских кривых

проверить эквивалентность при и при .

9.3. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами. Выяснить расположение кривой на плоскости и нарисовать ее.

а) при ;

б) при ;

в) при ;

г) при ;

д) ;

е) , (кардиоида);

ж) , (спираль Архимеда);

з) .

9.4. Показать, что кривая ,

лежит на сфере.

9.5. Циклоидой называется плоская линия, которую описывает точка А окружности, катящейся без скольжения в плоскости (xOy) по неподвижной прямой (оси Ox). Написать параметрические уравнения циклоиды.

9.6. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.

а) при

б) при ;

в) при ;

г) при , ;

д) ;

е) кривые 2 порядка на плоскости, заданные каноническими уравнениями;

ж) при (циклоида);

з) (декартов лист);

и) (лемниската Бернулли);

к) ;

л) элементарные функции от одной переменной в произвольной точке из области определения.

Замечание. В пунктах з)-к) точки на кривых подберите самостоятельно.

9.7. В каких точках касательная к параболе перпендикулярна прямой ; параллельна этой прямой?

9.8. Найти угол между кривыми в точке их пересечения

а)

б) .

9.9. Найти длины кривых из задачи 9.6 а) - ж), л) от до .

9.10. Найти кривизны кривых из задачи 9.6 а)-е), к) в указанных точках. Можно ли для данных кривых указать точки, в которых кривизна достигает своего максимального и минимального значений?

9.11. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости, бинормали, главной нормали, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, в указанной точке. Определите класс гладкости кривой.

а) ;

б) ;

в) ;

г) , - любая точка кривой;

д) , - любая точка кривой;

е) , - любая точка кривой.

ж)

9.12. Написать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости, бинормали, главной нормали, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей кривой , заданной как пересечение двух неявно заданных поверхностей, в точке :

а) , ;

б) , .

9.13. Найти длины кривых из задачи 9.11 от до . Значения и подберите сами.

9.14 из задачи 9.11 при . Значения подберите сами.

9.15.Н айти кривизну и кручение кривой , где в ее произвольной точке.

9.16. Найти координатные векторы канонического репера кривых из задачи 9.11 в указанных точках.

Дата добавления: 2015-07-11