Билет 5. Линейная балансовая модель.

Таблица 1

№ потребление итого на конечный валовый

отрас. внутре продукт выпуск

производ. (у_i ) (х_i )

№ 1 2 … k … n потребление

отрас. (å х_ik )

1 х₁₁ х₁₂ … х_1k … х_1n å х_1k у₁ х₁

2 х₂₁ х₂₂ … х_2k … х_2n å х_2k у₂ х₂

… … … … … … … … … …

i х_i1 x_i2 … x_ik … x_in å x_ik y_i x_i

… … … … … … … … … …

n x_n1 x_n2 … x_nk … x_nn å x_nk y_n x_n

итого

произв.

затраты å х_i1 å x_i2 … å x_ik … å x_in

в k-ю

отрасль

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1).

Обозначим через x_i валовый выпускпродукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность x_i - y_i составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x_ik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х_k.

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами:

х₁ - (х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n) = у₁

х₂ - (х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n) = у₂ (1)

.........................

x_n - (x_n1 + x_n2 + … + x_nn) = y_n

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х^’_ik, y^’_i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y₁, y₂, …, y_n, характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором: _

у = (у₁, у₂, …, y_n), (2)

а совокупность значений x₁, x₂, …, x_n,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом: _

x = (x₁, x₂, …, x_n). (3)

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k, содержат n­­­­² неизвестных x_ik, которые в свою очередь зависят от x_k.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений:

x_ik

a_ik = ––– (i, k = 1, 2, …, n).

x_k

Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x^’_ik x_ik

––– = ––– = a_ik = const (4)

x^’_k x_k

Исходя из этого предложения имеем

x_ik = a_ikx_k, (5)

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

A= ………………….

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель:

x₁ - (a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n) = y₁

x₂ - (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n) = y₂ (6)

……………………………………

x_n - (a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n) = y_n,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е·х - А·х = y, или окончательно

_ _

(Е - А)·х = y, (6')

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a₁₁ -a₁₂ … -a_1n

E - A= -a₂₁ 1-a₂₂ … -a_2n

…………………

-a_n1 -a_n2 … 1-a_nn

Уравнения (6) содержат 2n переменных(x_i и y_i). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Как правило, из заданного ассортиментного вектора У = (y₁, y₂, …, y_n) определяют необходимый для его производства вектор-план Х = (х₁, х₂, … х_n ).

Дата добавления: 2015-07-11