ПРАКТИКУМ
по теме «Криволинейный интеграл»
Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x), [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.
Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной siи постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.
J = lim 
f(xi, yi) 
si 
f(x,y) ds 
f(x,y) ds (1)
n 
Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода: общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.
Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.
1) Кривая L задана параметрически: x = 
(t), y = 
(t), t1 
t t2 .
Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде
s = 
= 
и при n
s 
ds = 
dt
J = f(x,y) ds = 
f( (t), (t)) 
dt (2)
2) Кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a,b].
Тогда s = 
или ds = 
dx. В результате имеем
J = f(x,y) ds = 
f(x,y(x)) 
dx (3)
Замена в f(x,y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги: S = dx
Пример 1. Определить длину дуги кривой y = x2/2 - 1, отсеченной осью Ох.
Решение.
Точки пересечения линий: 
(- 
,0), (,0)
y = x2/2 – 1, y` = x, = 
, - 
x
S = dx = 
dx = 
+ ln (
)
Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p
Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам: 
xc = 
, yc = 
, где s – длина дуги. (4)
Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2), тогда по (2)
ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = 
ds = 2 
sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4
xc = 
= 2/4 
(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3
yc = = 2/4 (1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3
Задачи для самостоятельного решения
Определить длину кривой: 1) y = ln (sin x) от x = 
/3 до x = 2 /3;
2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½; 3) x = t2, y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.
Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz.
J = lim f(Mi) xi 
f(x,y,z) dx; J = lim f(Mi) yi f(x,y,z) dy
J = lim f(Mi) zi f(x,y,z) dz
Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода
J = 
P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz (5)
Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.
Вычисление интегралов
1) Кривая L задана параметрически: x = (t), y = 
(t), z = 
(t), t1 t t2 .
Тогда, dx = `dt, dy = `dt, dz = `dt и для плоской кривой имеем
Pdx + Qdy = 
[P( (t), (t), (t)) (t)` + Q( (t), (t), (t)) `(t)]dt (5)
2) Кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a,b]. Тогда dy = y`(x)dx и
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 
[P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx (6)
Замена переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
Пример 2. Вычислить 
, где L: y = x2 +1 от точки А (0, 1) до точки В (1, 2)
Решение. y = x2 + 1, dy = 2x dx, 0 x 1
J = 
= 
= 
= [2x4/4 + 4x2/2] 
= 2,5
Пример 3. Вычислить J = 
, где L: x = t2, y = t, 1 £ t £ 2.
Решение. x = t2, dx = 2t dt, y = t, dy = 1 dt, 1 £ t £ 2
J = = 
[ t2 t 2t + t2 1 ] dt = [ 2t5/5 + t3/3 ] 
= 14 
Задачи для самостоятельного решения
1) Вычислить , где L: y = x2 + 1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2).
2) Вычислить 
, где L: y = x2 от точки А(1, 1) до точки В(2, 4).
3) Вычислить 
, где L: y = x от точки А(2, 2) до точки В(3, 3)
4) Вычислить 
по любому пути от точки А(2, 3) до В(5, 5).
5) Вычислить 
, где L: x = 2 cos t, y = 2 sin t, t Î [0, p/2].
6) Вычислить 
, где L: x = t2 + 1, y = t – 4, 1 £ t £ 2.
7) Вычислить 
, где L: прямая от А(1,1) до В(3,4).
Формула Грина
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 
(7)
позволяет криволинейный интеграл 2 рода по контуру L свести к двойному интегралу по области D, ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.
Пример 4. Вычислить J = -x2y dx + xy2 dy, где L: x2 + y2 = R2 .
Решение. P = - x2y, 
P/ y = - x2,
Q = xy2, Q/ x = y2, Q/ x - P/ y = y2 + x2
J = 
(y2 + x2) dxdy = {x = r cos , y = r sin } = 
= 2 
R4/4
Пример 5. Вычислить J = 
, где L: y = x2, y = 3.
Решение. P = xey, P/ y = xey
Q = 2x2 y, Q/ x = 4xy, Q/ x - P/ y = x(4y – ey)
D: y = x2, y = 3; 
(- 
; 3), (; 3)
Выберем коридор || Оу, его ширина - 
x ,
а движение по коридору от y = x2 до y = 3.
D:- x, x2 y 3
J = x(4y – ey) dxdy = 
, J1 = =
= x(2y2 – ey) 
= 18x – xe3 – 2x5 + x 
, J = 
[18x – xe3 – 2x5 + x ] dx =
= 
= sh
Задачи для самостоятельного решения
По формуле Грина вычислить следующие интегралы:
1) J = 
, где L: y = 6 – x2, y = 3.
2) J = 
, где L: y = x2, y = 2, x = 0.
3) J = 
, где L: x2 + y2 = x.
4) J = 
, где L: xy = 1, x = 0, y = 1, y = 2.
5) J = 
, где L: x2 + y2 = 4.
Условия независимости
от пути интегрирования криволинейных интегралов 2 рода вдоль кривой L от т.А до т.В:
1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0
Pdx + Qdy + Rdz = 0 (8)
2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)
Pdx + Qdy + Rdz = dU (9)
3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций
= 
, 
= 
, 
= 
(10)
В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу. Для этого проводят интегрирование dU от А(x0,y0,z0) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов.
Интегрирование dU(х,у) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy
от А(x0,y0) до В(x,y) по такому контуру дает
U(x,y) = 
+ 
+ С (11)
Пример 6. Вычислить J = 
Решение. Т.к. = = 2у, то интеграл не зависит от пути.
Вычислим интеграл вдоль ломаной ОАВ, где А(1,0), В(1,2)
ОА: y = 0, dy = 0, 0 x 1 JOA = 
= - 1
AB: x = 1, dx = 0, 0 y 2 JAB = 
= 10; J = JOA + JAB = 9
Пример 7. Найти U(x,y), если dU = x sin 2y dx + x2cos 2y dy
Решение. Проверка на полный дифференциал = = 2x cos2y. В формуле (11) положим А(0,0). Тогда U(x,y) = 
+ 
+ С = ½ x2sin2y + C
Проверка: 
= x2cos 2y, 
= x sin 2y.
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 54 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Значимое напоминание. | | | Управление дебиторской задолженностью |