практических занятий (в том числе 1 контрольная работа).

Читайте также:

1-е занятие. Вычисление двойных интегралов.

Повторить: определение, свойства, правила вычисления двойного интеграла.

1. Если область интегрирования ограничена слева и справа прямыми и , а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке, то

причём сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором .

2. Если область интегрирования ограничена снизу и сверху прямыми и , а слева и справа – непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке, то

причём сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором .

3. В общем случае, область интегрирования путём разбиения на части сводится к основным областям.

Задания для решения.

I. Вычислить двойной интеграл.

1). , если область - прямоугольник.

Решение. .

2). , если - квадрат. Ответ: . Указание. Использовать формулы ; .

3). , где . Ответ: .

4). , если .

Ответ: .

II. Вычислить повторный интеграл.

1).

2). . Ответ: .

III. Вычислить двойной интеграл по заданной области.

1). , если область ограничена линиями , .

Решение. Построим линии и определим точки их пересечения: , откуда

или , тогда

2). , если область ограничена линиями , , , . 3). , если область ограничена линиями , , , .

4). , если область ограничена линиями , , .

5). , если область ограничена линиями , , .

6). , если область - треугольник с вершинами , , .

Ответы: 2). ; 3). ; 4). ; 5). ; 6). .

2-е занятие. Изменение порядка интегрирования и замена переменной в двойном интеграле.

Повторить: свойства иправила вычисление двойных интегралов, полярную систему координат.

I. План решения первой задачи.

1. Изобразить область, ограниченную заданными линиями.

2. Определить функции, обратные к данным линиям.

3. Меняем порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде одной или объединения нескольких областей другого вида.

4. Записываем двойной интеграл или сумму двойных интегралов.

Задания для решения. Изменить порядок интегрирования в интегралах.

1). . 2). . 3). . 4). . 5). . 6). .

Решение. 1). Область ограничена линиями , , , , откуда и . Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух областей другого вида: и . Тогда .

Ответы. 2). . 3). . 4). .

5). . 6). .

II. Рассмотрим частный случай замены переменной в двойном интеграле – переход к полярной системе координат. При этом , , якобиан перехода , тогда .

Задания для решения. Вычислить двойные интегралы, переходя к полярной системе координат.

1). , если - I четверть круга .

Решение. Пусть , , тогда . В первой четверти , и .

2). , если область - кольцо между окружностями и . Ответ: .

Указание. Применить формулу интегрирования по частям в определённом интеграле.

3). , где ограничена полуокружностью и осью .

Ответ: .

4). , если - окружность . Ответ: .

3-е занятие. Вычисление площади плоской фигуры.

Повторить: формулы для вычисления площади плоской фигуры в прямоугольных и полярных координатах.

1. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью находится по формуле:

2. Если , то .

3. Если , то .

Задания для решения.

I. Найти площадь фигуры в прямоугольных координатах.

1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Определим точки пересечения линий из уравнения . Получим точки и . Поэтому кв. ед.

2). , .

3). , .

4). , .

5). , .

Ответы: 2). кв. ед. 3). кв. ед. 4). кв. ед. 5). кв. ед.

II. Найти площадь фигуры в полярных координатах.

1). Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями , (вне окружности ).

Решение. Найдём координаты точки : , , . Значит , тогда

кв. ед.

2). , (вне кардиоиды).

3). , .

Ответы: 2). кв. ед. 3). кв.ед.

III. Найти площадь фигуры переходом к полярной системе координат.

1). Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой .

Решение. Перейдём к полярным координатам по формулам , , получим . Фигура симметрична относительно начала координат, поэтому изменение соответствует четверти искомой площади, значит .

2). Найти площадь фигуры, ограниченной линией (петля).

Указание. Осью симметрии петли является . В полученном интеграле сделать замену переменной . Ответ: .

4-е занятие. Вычисление тройных интегралов.

Повторить: правило вычисления тройного интеграла, цилиндрические и сферические координаты.

1. Если , то

2. Цилиндрические координаты: , , . При этом , , . Якобиан преобразования , поэтому

3. Сферические координаты (их называют полярными координатами в пространстве): , , . При этом , , . Якобиан преобразования , поэтому

Задания для решения.

I. Вычислить тройной интеграл по заданной области.

1). , где область определяется неравенствами , , .

Решение. .

2). , если область ограничена плоскостями , , , .

Решение. Область ограничена сверху плоскостью , а снизу – плоскостью . Проекцией тела на плоскость служит область . Следовательно,

3). , если - прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами , , . Ответ: .

4). , если тело ограничено поверхностями , , , . Ответ: .

II. Вычислить тройной интеграл переходом к цилиндрической или сферической системе координат.

1). , если - шар .

Решение. Перейдём к сферическим координатам. В области : , , , тогда

2). , если область ограничена цилиндром и плоскостями , , .

Решение. Перейдём к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид . Следовательно, в области : , (т. к. ), . Поэтому

3). , если область - верхняя половина шара .

Ответ: .

4). , если область ограничена сферой и плоскостями , , . Ответ: .

5). , если область ограничена конусом и плоскостью . Ответ: .

5-е занятие. Приложения тройного интеграла.

Повторить: формулы объёма и массы тела, координаты центра тяжести.

1. Объём тела вычисляется по формуле: .

2. Если дано некоторое тело с плотностью - непрерывной функцией, то масса данного тела: .

3. Координаты центра тяжести однородного тела: , где - объём данного тела.

Задания для решения.

1). Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью и проецируется в круг плоскости . Переходим к цилиндрическим координатам, в которых уравнение параболоида . Объём тела

куб. ед.

2). Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями , .

Ответ: куб. ед.

3). Найти массу куба , если плотность в каждой точке . Ответ: .

4). Найти координаты центра тяжести призмы, ограниченной плоскостями , , , , .

Решение. Объём тела куб. ед. Тогда ,

. Ответ: .

5). Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями , , , , . Ответ: .

6). Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями , , , . Ответ: .

6-е занятие. Контрольная работа по теме «Кратные интегралы».

Повторить: приёмы и способы вычисления двойных и тройных интегралов.

Примерный вариант контрольной работы.

1. Вычислить интеграл , где D ограничена окружностями , .

2. Вычислить интеграл , где область D ограничена плоскостями , , , , , .

3. а). Построить на плоскости XOY область интегрирования заданного интеграла;

б). Изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.

7-е занятие. Вычисление криволинейных интегралов.

Повторить: формулы для вычисления криволинейных интегралов I и II рода.

1. Если кривая задана уравнением , , где - непрерывно дифференцированная функция, то ;

Если кривая задана уравнением вида , , то

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , , , где и - непрерывно дифференцируемые функции, причём точке соответствует значение , точке - значение , тогда