У цій книзі зібрані лекції, що читалися автором протягом ряду років по курсу основ квантової електроніки для студентів Московського фізико-технічного інституту. 7 страница

Мал. 8.3. До обчислення хвилевого фронту, створюваного на відстані z плоскою хвилею з гаусовим| розподілом поля в площині z = 0.

|Тоді пряме обчислення дає

(8.8)

де і а ω дається формулою (8.4).

В світлі розгляду, що проводився в цій і попередньою лекціях, не викликає здивування та обставина, що рішення (8.8) повністю співпадає з основною модою конфокального резонатора ТЕМ_00q

Поверхня постійної фази гауссова| пучка, якщо нехтувати слабкою залежністю α від z, дається рівнянням

(8,9)

При (що в рамках зроблених з самого початку припущень виконується завжди) це рівняння задає сферу радіусу R з центром в конфокальній крапці. Таким чином, мода ТЕМ_00q конфокального резонатора — це сферична хвиля, що йде з центру i що володіє гаусовим| розподілом інтенсивності| в площині, перпендикулярній напряму розповсюдження. При цьому радіус кривизни сферичного хвилевого фронту у міру розповсюдження, міняючись згідно із законом

(8.10) |

на великих відстанях від початку координат (z >> k ω₀² = l/2) співпадає з відстанню від резонатора до фронту хвилі: . Це означає, що в дальній зоні хвилевий фронт гаусового| пучка наближається до хвилевого фронту сферичної хвилі, що розповсюджується з крапки, розташованої на осі пучка в місці його фокальної перетяжки. При z = l/2 радіус R = l, т. е., як і слід було чекати, на поверхні дзеркала хвилевий фронт співпадає з сферичною поверхнею дзеркала. На мал. 8.4 показана та, що огинає гаусова| пучка в резонаторі і хвилеві фронти.

Мал. 8.4. Що огинає інтенсивності гаусового| пучка в конфокальному резонаторі і хвилеві фронти.

Разом з тим дуже важливо, що при z →0, R → ∞. Площина симетрії резонатора або, що те ж саме, його фокальна площина є поверхнею постійної фази. Це означає, що у фокальній перетяжці хвиля є плоскою, але просторово обмеженою ефективним розміром ω₀. Саме цей розмір визначає розходження| моди ТЕМ_00q. Розподіл амплітуди по хвилевому фронту гаусового| пучка (8.8) володіє осьовою симетрією і шириною ω (8.4). На великій відстані від резонатора (z >> k ω₀² = l/2) ширина ω=z/kω₀ чому відповідає кутове розходження |

(8.11а)

В результаті основна частина енергії гаусового| пучка зосереджена в тілесному вугіллі

(8.116)

Таким чином, розходження | лазерного випромінювання в основній моді визначається не поперечним, а подовжнім розміром резонатора лазера. Це є слідством того, що найменшим ефективним отвором, па якому відбувається дифракція випромінювання гаусового | пучка, що вільно розповсюджується, є фокальний перетин його каустики. Дифракційна розходження | визначається відношенням довжини хвилі λ до ширини| розподіли інтенсивності в області перетяжки ω₀. У свою чергу, рішення інтегральних рівнянь самоузгодженого поля типа Фокса Чи і приводить у виразу (8.5) для величини ω_0.

По суті, формула (8.8) описує дифраговану хвилю, що є результатом самодифракції| гаусова| пучка. Дифракційна картина, що описується формулою (8.8), характеризується монотонним зменшенням інтенсивності при відході від осьового напряму, тобто повною відсутністю яких-небудь осциляції в яскравості дифракційної картини, а також швидким спадом інтенсивності хвилі на крилах розподілу. Очевидно, що такий характер має дифракція гаусового| пучка на будь-якій апертурі, лише щоб розмір її в достатній мірі перевищував ширину розподілу інтенсивності пучка ω.

Доцільно відзначити, що монотонному характеру дифракційної картини гаусового | пучка в радіодіапазоні| відповідають безпелюсткові діаграми спрямованості приймальних і передавальних антен станцій радіолокації або приймальних антен радіотелескопів СВЧ|, що досягається спадом інтенсивності опромінення| на периферійних ділянках розкриття| антени, що формує її спрямованість.

Відсутність осциляції інтенсивності (бічних пелюсток) пов'язана з поступовим зменшенням амплітуди поля при видаленні від осі пучка, а не з конкретним (у нашому випадку — гаусовим|) законом зменшення.

Вираз (8.8) для поля гаусового| пучка отриманий при деякому розташуванні початкової площини z = 0, в якій хвилевий фронт плоский, а ширина розподілу мінімальна. Проте обчислення можна повторити, узявши за початковий гаусовий | розподіл в будь-якій іншої площини, і отримати той же результат. Отже, якщо в якомусь місці простору деякий хвилевий пучок характеризується сферичним хвилевим фронтом і гаусовим| поперечним розподілом амплітуди, то ці властивості зберігаються у всьому просторі. У міру розповсюдження хвилі змінюється лише радіус кривизни хвилевого фронту (8.10) і ширина розподілу амплітуди (8.4). Хвиля цього типу називається гаусовою | хвилею або гаусовим| пучком. Ширина пучка т і радіус кривизни фазового фронту R повністю визначають гаусів пучок в заданій точці па осі його розповсюдження. Зміна знаку R означає зміну кривизни фазового фронту на обратпую|, тобто перетворення пучка, що розходиться, на той, що сходиться і навпаки.

Так, ідеальна тонка лінза| перетворить той, що розходиться гаусів пучок в той, що сходиться, залишаючи його гаусовим |. Якщо поперечні розміри лінзи достатньо великі, так що можна нехтувати діафрагмуванням пучка на ній, то дія лінзи зводиться тільки до зміни кривизни хвилевого фронту. Як відомо з геометричної оптики, ідеальна тонка лінза відхиляє всі світлові | промені, падаючі на лінзу паралельно її оптичній осі, так, що вони перетинають оптичну вісь па одній і тій же відстані від лінзи, званій фокусною відстанню F. Означає, плоска хвиля після проходження лінзи стає сферичної з радіусом кривизни хвилевого фронту, рівним F. Отже, тонка лінза змінює кривизну хвилевого фронту хвилі, що проходить через лінзу, на величину, рівну, -1/F|. Тоді радіус кривизни хвилевого фронту гаусового| пучка безпосередньо після проходження лінзи визначається співвідношенням

(8.12)

де R — радіус хвилевого фронту безпосередньо до проходження лінзи. При достатньо короткофокусній лінзі (F<R), r<0 тобто кривизна хвилевого фронту після лінзи має інший знак, чим до неї, і ми отримуємо той, що сходиться гаусів пучок.

Зважаючи на важливість фокусування гаусових| пучків в квантовій електроніці розглянемо цей процес уважніше.

Хай зліва па ідеальну лінзу з фокусною відстанню F падає той, що розходиться гаусів пучок, область перетяжки якого (радіусу ω₀) знаходиться на відстані z від лінзи.

Мал. 8.5. До обчислення радіусу перетяжки | сфокусованого гаусового| пучка і відстані від лінзи до перетяжки.

Радіус кривизни хвилевого фронту безпосередньо до проходження лінзи рівний R. Кривизна фронту безпосередньо після проходження лінзи дається формулою (8.12). Ширину пучка в місці знаходження лінзи позначимо буквою D. Очевидно, що ширина пучка па лінзі однакова справа і зліва (мал. 8.5).

Позначимо буквою х шукану відстань від лінзи до тієї точки на оптичній осі лінзи, в якій перетин пучка|, що сходиться, мінімальна і складає шукану величину ν₀² Оскільки пучок після проходження лінзи залишається гаусовим|, то очевидно, що між величинами х, r, ν₀, D виконуються співвідношення типу (8.4) і (8.10). В результаті для х і ν₀² ми маємо систему рівнянь

(8.13)

яка легко вирішується. Після нескладних перетворень отримуємо

(8.14)

(8.15)

Тут r дається формулою (8.12), a| | у відповідності з (8.4). Отримані співвідношення носять достатньо загальний характер і дозволяють досліджувати перетворення одного гаусового| пучка в іншій, теж гаусів. Найбільш поширеним є тут завдання узгодження полий в двох різних резонаторах.

Хай пасивний резонатор використовується як інтерферометр Фабрі — Перо, наприклад, для дослідження спектру випромінювання лазера, тобто випромінювання, що виходить з активного резонатора. Як ми знаємо, розподіл поля основної моди конфокального резонатора є гаусовою| хвилею, радіус| перетяжки каустики якої визначається довжиною резонатора l (див. формулу (8.5)), а радіус кривизни хвилевого фронту на дзеркалі — радіусом кривизни дзеркала. Тому в загальному випадку моди цих двох резонаторів не співпадають один з одним. Коли пучок світла, відповідний моді одного резонатора, вводиться в інший резо|натор| і модові параметри цих резонаторів не узгоджені, розузгодження мод приводить до модового перетворення. Основна мода лазерного випромінювання починає взаємодіяти з вищими модами пасивного резонатора, порушуючи в них коливання. При помітному ступені перекачування енергії з основної моди активного резонатора можливі серйозні помилки при дослідженні спектральної структури лазерного випромінювання. Тому важливою є можлмвість| перетворення параметрів гаусового| пучка лінзою. Формули (8.14) і (8.15) дозволяють обчислювати фокусну відстань і положення необхідної лінзи, знаючи положення і розміри шийки пучків в обох резонаторах.

Повертаючись до важливої проблеми фокусування лазерного випромінювання, розглянемо рішення (8.14) і (8.15) на великому видаленні від перетяжки каустики початкового гаусового| пучка, тобто при z >> kω₀². Стосовно лазерного| випромінювання це відповідає великій відстані від резонатора лазера: z > > 1/2 (див. формулу (8.5)). Хай також| F < < z. Тоді і формули (8.14), (8.15) дають

(8.16)

(8.17)

Таким чином, при великому видаленні від перетяжки каустики відносно короткофокусна лінза концентрує початкове випромінювання гаусового | пучка в своїй фокальній області, збільшуючи його інтенсивність в z²/F² раз.

Формально з (8.16) витікає, що при z → ∞ у фокусі лінзи виходить пляма нескінченно малого радіусу. При цьому, проте, пляма на лінзі стає нескінченно великою (D → ∞), що суперечить початковому припущенню про те, що лінза не діафрагмує пучок і тим самим не порушує його гаусовість|. Різке обмеження апертури гаусового | пучка корінним чином міняє характер дифракції, і відповідний інтеграл Френеля — Кирхгофа вже не може бути записаний у вигляді (8.8). Крім того, і при| збереженні гаусового | пучка дифракційні явища накладають обмеження на величину D.

Кут дифракційного розходження| гаусового пучка складає λ/2πω₀. Це означає, що гаусова | хвиля не може бути сфокусована| в пляму радіусу, меншого λ/2π. З (8.16) витікає, що F=zν₀/ω₀ завжди більше > λ/2π, . Оскільки D=zλ/2πω₀ то очевидно, що формули (8.14) — (8.16) вірні за умови

F>D (8.18)

Таким чином, значна просторова концентрація енергії основної моди лазерного випромінювання можлива при фокусуванні випромінювання топкою лінзою, розташованою на великій відстані від резонатора лазера (z >> kω₀² =l/2). При цьому фокусна відстань лінзи повинна бути менше цієї відстані z, по більше розміру плями на лінзі| D. В цьому випадку обговорювані умови фокусування записуються у вигляді

z>>l/2, z>>F>D (8.19)

і, отже, легко здійснимі.

Подовжній розмір фокальної області, в якій найсильніше концентрується енергія випромінювання, може бути знайдений застосуванням формули (8.4) до сфокусованого випромінювання. Інтенсивність випромінювання падає в два рази при видаленні від точ|ки| максимальної концентрації х = - F, де ширина розподілу рівна ν₀, на відстань

(8.20)

При фокусуванні випромінювання на хвилі 1 мкм| в пляму радіусом 10 мкм| щільність потоку енергії майже постійна в майже циліндровій області довжиною 1200 мкм|.

Підкреслимо, що хвилевий фронт випромінювання є плоским точно у фокусі і близький до плоского у всій даній області фокальної перетяжки.

Формули (8.16) п (8.17) отримані| для великих z із загального рішення (8.14) і (8.15). Проте в цьому граничному випадку вони можуть бути отримані безпосередньо. Якщо z велике, то фокусована хвиля близька до плоскої, отже, вона фокусується в крапці, за визначенням званою крапкою фокусу. При великих z і F радіус плями на лінзі при розповсюдженні зліва направо визначається співвідношенням D = z/ kω₀, а при розповсюдженні справа наліво — співвідношення Відповідно|

Розглянемо тепер протилежний окремий випадок. Помістимо перетяжку каустики фокусованого випромінювання в передній фокус лінзи, тобто на відстані

z = F від площини лінзи. Досліджуємо питання про те, де сфокусується гаусів пучок і чому рівний в цьому випадку радіус його нової перетяжки. Підстановка z = F у формули (8.4), (8.10) і (8.12) приводить до наступних виразів для радіусу плями на лінзі п радіусу кривизни хвилевого фронту безпосередньо після лінзи:

(8.21)

У свою чергу, підстановка (8.21) в (8.15) дає

(8.22)

(8.23)

При z = F лінза| стоїть там, де стоїть сферичне дзеркало еквівалентного конфокального резонатора, що формує фокусований гаусів пучок. Іншими словами, якщо z = F, то одночасно| z = 1/2. При z = 1/2, тобто па поверхні дзеркала, площа плями основної моди удвічі перевищує площу перетину перетяжки каустики резонатора (див. (8.4) і (8.5)). Отже, D² = 2 ω₀² і

(8.24

Таким чином, ідеальна тонка лінза| з фокусною відстанню F перетворить той, що розходиться гаусів пучок в повністю подібний до нього пучок, що сходиться, якщо тільки фокальна перетяжка початкового пучка поміщена у фокус лінзи. Іншими словами, лінза зберігає мінімальний перетин гаусового| пучка і переводить його з одного свого фокусу в іншій, якщо тільки саме мінімальний перетин поміщений із самого початку у фокус лінзи.

Очевидно, що наступна лінза з фокусною відстанню F, поміщена на відстані 2F від попередньої, перетворить вторинний по відношенню до першої лінзи гаусів пучок таким самим чином. Поміщаючи на відстані 2F один від одного періодичну послідовність однакових лінз, отримуємо, таким образом, лінзовий конфокальний світловод, що дозволяє передавати на довільно велику відстань иерасходящийся| в середньому пучок світла (рис|. 8.6). Траєкторія хвилі в конфокальному лінзовому світловоді представляє періодичну послідовність ідентичних гаусових| пучків, що сходяться і розходяться. Розподіл поля між лінзами повністю подібно до розподілу поля між дзеркалами конфокального резонатора.

Мал. 8.6. Лінзовий конфокальний світловод (лінзи показані умовно

вертикальними стрілками).

Природно, що нормальні моди конфокального лінзового світловода співпадають з модами конфокального резонатора.

Аналогія між резонаторами і лінзовими світловодами достатньо глибока і часто використовується для аналізу властивостей резонаторів різного типу.

Лекція дев'ята. СТІЙКІСТЬ РЕЗОНАТОРІВ

Стійкість лінзових світловодів. Світловод з однаковими лінзами. Світловод з лінзами двох різних фокусних відстаней, що чергуються. Умова стійкості, діаграма стійкості. Еквівалентність лінзового світловода і відкритого резонатора. Типи стійких резонаторів. Селекція поперечних мод діафрагмою. Нестійкі резонатори.

Використовуємо аналогію між лінзовими світловодами і відкритими резонаторами для розгляду важливого питання про стійкість резонаторів. Резонатор стійкий, коли при поперемінному віддзеркаленні від дзеркал резонатора походить таке періодичне фокусування випромінювання, що розповсюджується в нім, що в наближенні геометричної оптики енергія випромінювання не виходить із| резонатора. У нестійкому резонаторі при кожному, проході випромінювання між дзеркалами резонатора помітна частка запасеної енергії виходить з резонатора. Іншими словами, стійкий резонатор характеризується наявністю стаціонарного розподілу поля, випромінювання, що стійко повторюється при багатократних проходах, між дзеркалами резонатора і що володіє вельми малими дифракційними втратами, такими, що для часу життя цього розподілу в резонаторі виконується умова ωτ_дифр > > 1 (див. (7.17)).

Стійкому резонатору відповідає стійкий лінзовий світловод. У свою чергу, світловод стійкий, коли в нім розповсюджується пучок світла, на довільно великих відстанях що не виходить за межі світловода. Проведемо аналіз стійкості світловода, який складається з лінз з однаковими фокусними відстанями F, розташованих послідовно і співісний на відстані l один від одного. Траєкторію променя світла в лінзовому світловоді розглядатимемо в параксіальному наближенні, для якого справедлива відома формула тонкої лінзи

(9.1)

де а₁ — відстань крапки, що світиться, поміщеної на головній оптичній осі лінзи|, до оптичного центра| лінзи, а₂ — відстань від оптичного центру лінзи до зображення цієї крапки. Ця загальна формула може бути представлена у вигляді, зручнішому для аналізу, що проводиться далі. Хай деякий промінь перетинає площина лінзи на відстані r від її головної оптичної осі.

Мал. 9.1. До виведення формули лінзи| Мал. 9.2. До виведення умови |

| у формі (9.2). стійкості| лінзового світловода.

Цей промінь входить в лінзу під кутом α₁ по відношенню до нормалі до площини лінзи і виходить під кутом α₂. У параксіальному наближенні, тобто при

r << α₁,α_2, формулі (9.1) еквівалентний запис

(9.2)

де позитивні кути відраховуються|, як завжди, проти годинникової стрілки (мал. 9.1).

Розглянемо три сусідні лінзи світловода n – 1, n і n + 1. Для даного променя відстань від оптичної осі лінзи номер n, тобто відстань від осі світловода в точці n, рівне r_n|_. Кут між променем і оптичною віссю світловода при виході із | лінзи номер n складає α_n. Для сусідніх лінз формула (9.2) приймає вигляд (мал. 9.2)

У свою чергу, відстані (9.3) від променя до віспи в сусідніх лінзах зв'язані співвідношеннями

(9.4)

справедливими, природно, тільки в параксіальному наближенні. Віднімаючи з першого рівняння друге і враховуючи (9.3), отримуємо рекурентне співвідношення

(9.5)

що дозволяє визначати положення світивши на будь-якій лінзі світловода, якщо| відоме його положення па перших два лінзах|.

Таким чином, в наближенні геометричної оптики ми отримали рекурентне співвідношення, що дозволяє послідовно крок за кроком, від лінзи до лінзи визначати траєкторію будь-якого променя в параксіальному| пучку світла, що розповсюджується в лінзовому світловоді, і тим самим аналізувати стійкість світловода. Аналогія з розглядом послідовних проходжень випромінювання між дзеркалами резонатора в методі Фокса і Лі і очевидна.

У даному випадку чисельний аналіз послідовних кроків не є необхідним, оскільки (9.5) допускає аналітичне рішення. Шукатимемо це рішення у вигляді

(9.6)

де А — постійна. Підставивши (9.6) в (9.5), скориставшись формулою Ейлера і потребує виконання| (9.5) порізно для уявної| і дійсною частин цього рекурентного співвідношення, ми отримуємо, що (9.6) задовольняє (9.5) за умови

(9.7)

Співвідношення (9.6) є часковим рішенням (9.5). Проведемо його аналіз, не розглядаючи загальне рішення. Світловод стійкий, коли r_n у міру зростання n осцилює в межах ±А, де А має сенс положення світивши при вході в світловод.

Необхідною і достатньою умовою існування не зростаючої осциляції r_n є дійсність θ. При дійсному θ функція соs| θ поміщена в межах ±1. Отже, допустима область змін відношення l/F визначається нерівностями

(9.8)

При значеннях l/F, лежачих поза цією областю, косинус стає гіперболічною функцією, θ — комплексною величиною, амплітуда відхилень світивши від осі світловода r_n наростає, промінь виходить з світловода, і світловод стає нестійким. Отже, нерівності (9.8) є умовою стійкості даного світловода.

Розглянемо тепер декілька більш загальний випадок. Хай в світловоді фокусні відстані сусідніх лінз різні і рівні F₁ і F₂. Всі лінзи розташовані один від одного на відстані I. Значення ρ_n зберігаються постійними по всій довжині світловода, чергуючись через одну лінзу так, що, скажімо, всі парні лінзи мають фокусну відстань F₁, а все непарні F₂.

Рекурентне співвідношення, подібне (9.5), можна отримати, послідовно застосовуючи формулу лінзи у формі (9.2) до схеми, представленою па мал. 9.3. Кути нахилу і положення світивши на лінзах світловода з лінзами різної фокусної відстані, що чергуються, пов'язані співвідношеннями

(9.9)

(9.10)

Положення світивши па сусідніх лінзах і параксіальному наближенні зв'язані співвідношеннями

(9.11)

(9.12)

Віднімаючи (9.12) з (9.11) п враховуючи (9.9), знаходимо зв'язок

(9.13)

Аналогічно

(9.14)

Якщо тепер в (9.14) замінити n на n - 1:

(9.15)

скласти (9.1.5) з (9.14) і ввести ρ_n+1 + ρ_n але формулі (9.13). то в

Мал. 9.3. До виведення умови стійкості лінзового світловода з лінзами, що чергуються, з фокусними відстанями F₁ і F₂.

результаті виходить рекурентне співвідношення, що містить тільки r_n |:

(9.16)

Для положень світивши на непарних лінзах ρ_n в результаті перетворень такого ж типу виходить абсолютно аналогічне співвідношення:

(9.17)

Рекурентні співвідношення (9.16) і (9.17) формою повністю подібні до співвідношення (9.5). Отже, до них застосовні результати рішення (9.5) у формі (9.6) і (9.7). Це означає, що умовою стійкості лінзового світловода з лінзами, що чергуються, з фокусними відстанями F₁ і F₂, розташованими послідовно на одній і тій же відстані I один від одного, є виконання вимоги

(9.18)

Нескладні перетворення надають (9.18) просту форму:

(9.19)

При однакових F₁ = F₂ = F нерівності (9.19) п (9.8) еквівалентні, які еквівалентні твердженню і

Введемо позначення g₁ = 1 – l/2F₁ і g₂ = 1 – l/2F₂ В цих позначеннях межі зміни допустимих значень відносин l/2F визначаються простими рівняннями:

(9.20)

(9.21)

Записи (9.20) і (9.21) дають можливість простого графічного представлення області стійкості світловода в координатах g₁,g₂

На рпс|. 9.4 гіперболи g₁g₂=1 і осі координат, рівності| (9.21), що відповідають, обкреслюють область стійкості. Для наочності ця область заштрихована.

Рас. 9.4. Діаграма стійкості. Внизу показані діапазони зміни фокусної відстані Рь відповідні зміні параметра g₁ = 1 – l/2F₁ і від -∞ до +∞

Допустимі значення g₁ і g₂ лежать в заштрихованій області і на її межі. Відзначимо деякі спеціальні крапки на цій діаграмі, що представляють особливий інтерес. Початок координат В (g₁ = 0, g₂ = 0) відповідає конфокальній системі

F₁ = F₂ = F = 1/2. Видно, що конфокальний лінзовий світловод лежить на межі між областями стійких і нестійких траєкторій. Точка С (g₁ = 1, g₂ = 1) відповідає граничному випадку нескінченного фокусній відстані. Точка А (g₁ = -1, g₂ = -1) відповідає лінзовому сві|тловоду| з однаковими лінзами, фокусна відстань яких

F = l/4 є гранично малим для світловода цього типу. Повернемося до відкритих резонаторів і розглянемо ще раз аналогію між лінзовим світловодом і резонатором.

Типовий лазерний резонатор складається з двох злегка увігнутих дзеркал з великою відбивною здатністю, розташованих напроти один одного. Кривизна дзеркал може бути як однаковою, так і різною. Увігнуте сферичне дзеркало в параксіальному наближенні еквівалентно плоскому дзеркалу і плоско-опуклій сферичній лінзі, розташованій безпосередньо перед дзеркалом.

Дата добавления: 2015-11-04