Отже, кінцівка часу життя частинки в збудженому енергетичному стані веде до розширення рівнів енергії. Випромінювання з розширених рівнів набуває спектральної ширини. Найбільш загальним, фундаментальним механізмом, що обмежує зверху час життя частинки на збудженому рівні є спонтанне випромінювання, яке винне, таким чином, мати спектральну ширину, відповідного швидкості актів спонтанного розпаду.
Квантова електродинаміка дозволяє обчислити спектральний розподіл квантів спонтанного випромінювання, витікаючи з рівня шириною
ΔE=ħ/τ0 (2.5)
Контур лінії спонтанного випромінювання виявляється таким, що має так звану лоренцеву форму з шириною
Δνл=ΔE/h=1/2πτ0(2.6)
Лоренцева форма лінії визначається формфактором
(2.7)
і має вид резонансної кривої з максимумом на частоті ν= ν0, половини пікової величини, що спадає до рівня, при частотах ν= ν0. 
Очевидно, що повна ширина кривої на половині максимальної величини складає 
.
Якщо приймати до уваги можливість спонтанного розпаду не тільки верхнього з двох даних рівнів енергії, але і нижнього, коли нижній рівень не є основним, то під , що входить у формулу (2.7), слід розуміти величину, визначувану сумою швидкостей розпаду цих рівнів 1/ τ02 і 1/ τ01:
Δνл= 
(2.8)
Вираз (2.7) може бути легко отриманий в класичному наближенні.
Рівняння руху осцилюючого диполя з радіаційним загасанням зводиться до рівняння гармонійного осцилятора з в'язким тертям:
(2.9)
де ω01 - кругова частота електрона, що коливається, в диполі, що складається з електрона і ядра, γ - класичний коефіцієнт загасання його випромінювання. Рішення цього рівняння добре відоме:
(2.10)
Де ω12= ω012 –(γ/2)2 а С - довільна амплітуда. Оскільки інтенсивність випромінювання, що випускається даним лоренцевськім осцилятором, пропорційна квадрату амплітуди коливань електрона в осциляторі, то видно, що інтенсивність випромінювання експоненціально падає в часі з характерним часом
τ=1/γ (2.11)
Цей час є середній час життя збудженого стану.
Тимчасовій залежності (2.10) відповідає спектральний розподіл g(ω), яке легко виходить фур’є-перетворенням х(t):
(2.12)
При обчисленні (2.12) враховано, що (2.10) отримане для t 
. Формула (2.12) дає спектральний розподіл амплітуд. Спектральний розподіл інтенсивності є квадрат модуля розподілу амплітуди. Отже,
(2.13)
Вводячи позначення 
, 
, 
прийнявши значення константи С2=4πΔνл ми отримуємо вираз (2.7) для форм-фактора q(ν).
Отже, такі спектральні властивості спонтанного випромінювання. Його інтенсивність частотно залежна. Отже, його вірогідність залежить від частоти, має, деяку спектральну щільність:
(2.14)
При цьому необхідно, щоб
(2.15)
Звідси витікає вимога нормування форм-фактора q(ν),
(2.16)
що вже виконане в записі (2.7) в припущенні ν0 >> Δνл/2
Далі. Ми вже з'ясували, що вірогідність спонтанного і індукованого випромінювань пов'язана один з одним. Це було доведено за допомогою вельми загальних термодинамічних міркувань. Отже, вірогідність індукованого випускання також частотно залежна і має спектральну щільність
(2.17)
При цьому
(2.18)
Якщо індукуюче випромінювання монохроматично, то
(2.19)
де ρ - об'ємна щільність цього випромінювання, а δ (x) - кінцетна дельта-функція Дірака. Тоді інтеграл (2.18) легко береться, і
(2.20)
Скорочення часу життя, що приводить до появи кінцевої ширини лінії , зменшує вірогідність індукованих переходів, що викликаються монохроматичним полем випромінювання, обернено пропорційно до ширини лінії.
Розширення лінії, обумовлене кінцівкою часу життя станів, зв'язаних даним переходом, називається однорідним. Кожен атом, що знаходиться у відповідному стані, випромінює при переході зверху вниз лінію з повною шириною і спектральною формою q(ν). Аналогічно кожен атом, що знаходиться у відповідному нижньому стані, поглинає при переході від низу до верху випромінювання в спектрі з повною шириною і відповідно до спектральної залежності q(ν). Неможливо приписати яку-небудь певну спектральну компоненту в спектрі q(ν) якомусь певному атому. При однорідному розширенні незалежно від його природи спектральна залежність q(ν) є єдина спектральна характеристика як одного атома, так і всієї сукупності атомів. Зміна цієї характеристики, в принципі можлива при тій або іншій дії на ансамбль атомів, відбувається одночасно і однаковим чином для всіх атомів ансамблю.
Прикладами однорідного розширення є природна ширина лінії і зіткнювальне уширення в газах.
Інша справа - неоднорідне розширення. Експериментально спостережувані спектральні лінії можуть з'явитися безструктурною суперпозицією декілька спектрально нерозв'язних однорідно розширених ліній. У цих випадках кожна частинка випромінює або поглинає не в межах всієї експериментально спостережуваної лінії. Така спектральна лінія називається неоднорідною розширеною. Причиною неоднорідного розширення може бути будь-який процес, що приводить до відмінності в умовах випромінювання (поглинання) для частини однакових атомів досліджуваного ансамблю частинок, або наявність в ансамблі атомів з близькими, але різними спектральними властивостями (надтонка структура того або іншого вигляду), однорідно розширені спектральні лінії яких перекриваються лише частково. Термін «неоднорідне розширення» виник в спектроскопії ЯМР, в якій розширення цього типу відбувалося із-за неоднорідності зовнішнього поля, що намагнічувало, в межах досліджуваного зразка. Аналогічну природу має неоднорідне розширення в домішкових люмінесцентних кристалах, в яких неоднорідність внутрішньокристалічного електричного поля приводить до відмінності у величині штарковського зрушення частоти випромінювання домішковими центрами, розташованими в різних місцях кристалічного зразка.
Класичним прикладом неоднорідного розширення є доплерівське розширення, характерне для газів при малому тиску і (або) високих частотах.
Атоми (молекули, іони) газу знаходяться в тепловому русі. Доплер-ефект першого порядку приводить до зсуву частоти випромінювання частинок, що летять на спостерігача з швидкістю u, на величину ν0u/c де ν0 - частота випромінювання частинки, що спочиває, а с - швидкість світла. Природне розширення перетворює випромінювання на частоті ν0 у спектральну лінію, але це розширення однорідне, і частотне зрушення ν0u/c випробовує вся лінія. Оскільки частинки газу рухаються з різними швидкостями, то частотні зрушення їх випромінювання різні, а сумарна форма лінії газу в цілому визначається розподілом частинок за швидкостями. Останнє вірно, строго кажучи, якщо природна ширина лінії багато вже p(u) зрушень частоти, що, як правило, має місце. Тоді, якщо позначити через p(u) функцію розподіли частинок за швидкостями, форм-фактор доплеровськой лінії q(ν) виявляється пов'язаним з p(u) простим співвідношенням:
(2.21)
Далі, спостережувана частота рівна
(2.22).
Отже, 
і 
Звідси
(2.23)
При максвелівському розподілі частинок за швидкостями
(2.24)
де середня теплова швидкість
(2.25)
Тут k - постійна Больцмана, Т - температура газу, m - маса атома (молекули) газу. Строго кажучи, максвелівський розподіл справедливий тільки при тепловій рівновазі. Проте відхилення від нього зазвичай трохи навіть для збуджених (випромінюючих) частинок. В усякому разі кількісні оцінки за допомогою максвелівського розподілу виходять достатньо надійними. Комбінуючи (2.25), (2.24) і (2.23), легко отримати q(ν) у вигляді
(2,26)
де введено позначення Δνт для характерної спектральної ширини, рівної доплерівському зрушенню частоти при середній тепловій швидкості руху випромінюючої частинки:
(2.27)
Лінія, форма якої визначається форм-фактором (2.26), називається доплерівські розширеною лінією. Її форма, як видно з (2.26), описується функцією Гауса і симетрична щодо центральної частоти ν0. Спад кривої q(ν) (2.26) при сильному настроєнні від ν0 відбувається набагато крутіше, ніж у разі лоренцевого контура лінії (2.7). Біля центральної частоти гауссова крива пологіша. Очевидно, що її ширина визначається параметром Δνт. При видаленні від центру кривої на Δνт інтенсивність падає в е разів. Якщо визначити, як завжди, ширину лінії як відстань між такими крапками настроєння (у нашому випадку симетричними) від центральної частоти, в яких
Мал. 2.1. Гауссова (I) і лоренцева (II) форми позбав (нормовані на одиницю) при однаковій ширині на половині висоти, показаної відрізком Δν на осі абсцис. Масштаб по осі ординат вибраний в одиницях 1/Δν.
інтенсивність складає половину максимальною (так звана повна ширина на половині висоти), то у разі доплерівського розширення з (2.26) легко отримати, що ця ширина рівна
(2.28)
Підкреслимо, що гауссова форма лінії в записі (2.26) нормована на одиницю: в припущенні, що ν0 >> Δνт
На мал. 2.1 показані форми ліній при однорідному (2.7) і неоднорідному (2.26) розширенні для випадку Δνл = Δνд
Із збільшенням частоти роль доплерівського розширення зростає. У видимому діапазоні при не дуже високих температурах (300-600 До) значення Δνд складає величину близько 0,8-1,5 ГГц. Для довідок зручна формула, перерахована в довжини хвиль:
(2.29)
де М - відносна молекулярна маса. Оскільки 
, то формулі (2.29), очевидно, еквівалентний запис
(2.30)
Підкорінний характер залежності Δνд (Т, М) призводить до того, що для грубих чисельних оцінок Δνд/ν0 (або 
) можна вважати в умовах, наприклад, тліючого газового розряду постійної величиною, рівною (2-3), • 10-6.
Забігаючи декілька вперед, приведемо два приклади.
Для С02-лазера (випромінювання молекул С02 при температурі близько 400 До на хвилі близько 10 мкм) АVд складає 60 Мгц, для гелій-неонового лазера (випромінювання атомів Неону при температурі близько 400 До на хвилі 0,63 мкм) доплерівська ширина лінії досягає 1,35-1,40 ГГц.
Повернемося тепер до однорідного розширення. Як виявлятиметься з подальшого викладу, аж до дуже високих частот, відповідних УФ випромінюванню, як правило, природною шириною лінії можна нехтувати. Для газів однорідне розширення визначається в реальних умовах зіткнювальними процесами. У газах серед безлічі зіткнювальних процесів існують зіткнення такого типу, які приводять до зміни фази коливань збудженої частинки. У класичному наближенні, коли збуджена частинка розглядається як осцилятор, що здійснює коливання з постійною амплітудою і деякою певною фазою, зміну фази міняє взаємодія осцилятора з електромагнітним полем. Цю зміну носить випадковий характер. Якщо в результаті зіткнень (одного або декількох) початкове фазове співвідношення порушується, то можна вважати, що з полем взаємодіє новий осцилятор, а старий зник. Тому середній час вільного прольоту осцилятора між фазосбівающимі зіткненнями є середнім часом життя частинок газу по відношенню до зіткнень цього роду. Це час, τст, відповідно до формули (2.4) визначає зіткнювальну ширину лінії Δτст:
(2.31)
Оскільки газокінетичні зіткнення є випадковим процесом, що впливає при одному і тому ж ударному партнерові в середньому однакове па всі молекули (атоми) газу одного сорту, то зіткнювальних розширення є однорідним розширенням.
Величина τст визначається газокінетичним перетином процесу збою фази при ударі σст, швидкістю теплового руху частинок газу u і щільністю газу n:
(2.32)
де кутові дужки означають усереднювання за швидкостями. При простих оцінках можна вважати, що в (2.32) входить середня тепловая швидкість u0: 1/ τст = nu0 σст. Питання про величину осту вимагає у кожному конкретному випадку окремого експериментального дослідження.
Для квантової електроніки надзвичайно велике значення має зворотна пропорційність τст щільності газу. В результаті цього зіткнювальна ширина Δνст прямо пропорційна тиску газу і може досягати помітних величин. Так, для вже згадуваного С02-лазера крутизна зростання ширини лінії із-за почастішання зіткнень із збільшенням тиску складає (залежно від зіткнювального партнера) 4-8 МГц/Торр. При сумарному тиску в 10-15 Торр для С02-лазера однорідна зіткнювальна ширина перевищує неоднорідну (доплерівську).
На закінчення цієї лекції відзначимо необхідність приймати в деяких випадках до уваги так звану пролітну ширину лінії. У спектроскопії атомних (молекулярних) пучків час прольоту пучка частинок через область простору, зайняту електромагнітним полем, може бути малий. Очевидно, що середньому часу взаємодії пучка з полем τпр відповідає однорідне розширення
(2.33)
Лекція третя. ПОСИЛЕННЯ
Поглинання і посилення. Активне середовище. Перетин поглинання. Ефект насичення. Щільність потоку енергії випромінювання, що насичує. Імпульсний режим, енергія насичення.
Рівноважна квантова система поглинає енергію зовнішнього випромінювання, тобто при рівноімовірності індукованих переходів зверху вниз (з випромінюванням енергії) і від низу до верху (з поглинанням енергії) з розрахунку на одну частинку загальне число переходів з нижніх рівнів на верхні перевершує число зворотних переходів, тому що внизу частинок більше, ніж вгорі.
Дійсно, зміна енергії зовнішнього поля випромінювання в одиничному об'ємі квантової системи визначається різницею енергій, що випромінюються і поглинаються при індивідуальних переходах вниз і вгору. Оскільки випромінювана потужність рівна n2W21hν, а n1W12hν, що поглинається, то швидкість зміни щільності енергії відповідно до (1.2), (1.3), (1.10) і (2.20) складає
(3.1)
що при термодинамічній рівновазі відповідно до розподілу Больцмана (1.4) негативно. Енергія зовнішнього поля поглинається. Надалі ми побачимо, що при скільки-небудь помітному поглинанні енергії зовнішнього поля населеності n2 і n1 змінюються, міняючи тим самим швидкість поглинання енергії. Проте на справжньому етапі нашого розгляду ми нехтуватимемо таким сильним впливом поля на речовину, маючи на увазі наявність релаксаційних процесів, швидко в порівнянні| з 
тих, що повертають частинки вниз, що і забезпечує безперервність процесу поглинання енергії зовнішнього електромагнітного випромінювання і перевід цієї енергії в тепло.
Отже, при термодинамічній рівновазі dp/dt<0 Для збільшення енергії випромінюванні необхідно, щоб виконувалася умова |
n2/g2>n1/g1(3.2)
У відсутність виродженості це означає, що населеність верхнього рівня повинна перевищувати населеність нижнього. За наявності виродженості число частинок, що доводяться на один невироджений стан верхнього рівня, повинне перевищувати населеність кожного невиродженого стану нижнього рівня.
Таким чином, збільшення щільності енергії поля зовнішнього випромінювання відбувається в квантовій системі тоді, коли рівноважний розподіл населеності порушено так, що верхні стани населені сильніше, ніж нижні, тобто коли розподіл населеності інвертований.
Системи квантових частинок, в яких хоч би для двох рівнів енергії більш високо розташований рівень (верхній рівень) населений сильніше за нижній рівень, називаються системами з інверсією населеності Іноді таку інвертовану систему називають системою з негативною температурою. Введення цього терміну є формальним наслідком застосування розподілу Больцмана до нерівноважних систем з інверсією населеності. Дійсно, з формули (1.4) для розподілу Больцмана видно, що при Е2 > Е1 умова n2/g2>n1/g1 випливає автоматично, якщо вважати, що Т < 0.
Для нас, проте, більш важливо, що системи з інверсією населеності є системами з негативним поглинанням, тобто з посиленням. Для випромінювання, що розповсюджується у вигляді хвилі, що біжить, у напрямі z з швидкістю c, коефіцієнт поглинання α визначається як
(3.3)
де I — інтенсивність (щільність потужності) випромінювання [Вт/см2]. Оскільки I = const•ρ i dz = c dt
(3.4)
При цьому з (3.1) ми отримуємо
(3.5)
При виконанні умови n2/g2>n1/g1 коефіцієнт α < 0, і, відповідно, посиленню відповідає, як і слід було чекати, негативне поглинання.
Через властивості індукованого випромінювання отримуване при інверсії посилення когерентне. При розповсюдженні в середовищі з негативним поглинанням амплітуда поля наростає експоненціально з показником (інкрементом) посилення, рівним α /2, тобто з показником
(3.6)
Приведемо тут для довідок співвідношення між напруженістю електричного поля електромагнітної хвилі Е і її інтенсивністю І. При лінійній поляризації поля хвилі
(3.7а)
при круговій
(3.76)
Отже, для посилення, тобто для інверсії знаку поглинання, необхідна інверсія населеності Для створення інверсії населеності необхідна додаткова зовнішня дія. Незалежно від конкретного механізму інверсії це зовнішня дія повинна долати процеси, направлені на відновлення рівноважної різниці населеності. Перешкоджати процесам відновлення рівноважної різниці населеності можна, тільки витрачаючи енергію — енергію накачування, що поступає від зовнішнього джерела живлення.
Сукупність квантових частинок з інверсією населеності, тобто середовище з негативними втратами енергії випромінювання, що розповсюджується в ній, називається в квантовій електроніці активним середовищем.
Розглянемо декілька докладніше коефіцієнт поглинання в рівноважному випадку. Як і раніше матимемо на увазі дворівневу систему. Відповідно до розподілу Больцмана для дворівневої системи, що знаходиться при температурі Т
(3.8)
де n = n1 + n2 — щільність загального числа частинок на обох рівнях енергії. У радіодіапазоні, як правило, hν << kT і
(3.9)
У оптичному діапазоні hν >> kT і
(3.10)
Для довідок вкажемо, що при температурі 300 До рівність hν = kT наступає на довжині хвилі 48 мкм (якою відповідає частота 6250 ГГц або 207 см-1).
Рівність (3.10) можна додати іншу форму. Пригадавши, що g1/B12> g2B21, 
запишемо (3.10) у вигляді
(3,11)
Так як c/ν=λ A21=1/τ0 Де τ0— природній (радіаційній, спонтанний) час життя частинки па верхньому рівні, то
(3.12)
Величина Δνлτ0 безрозмірно. Отже, існує можливість характеризувати поглинаючі властивості частинки деяким ефективним перерізом її взаємодії з резонансним електромагнітним полем. Цей перетин називається перетином поглинання і позначається буквою σ. За визначенням
(3.13)
Тоді з (3.12) витікає (див. також (3.10)), що
(3.14)
Оскільки 2πΔνл завжди перевищує 1/ τ0, перетин поглинання завжди менший λ2/2π (у оптичному діапазоні, як правило, значно менше). Характерні значення σ залежно від спектрального діапазону і конкретної квантової частинки лежать в широкому діапазоні (10-12—10-24 см2).
У попередньому розгляді йшлося про так званий лінійний коефіцієнт поглинання або коефіцієнт поглинання малого сигналу, коли значення α не залежить від інтенсивності сигналу. Незалежність коефіцієнта поглинання α від інтенсивності випромінювання, що поглинається, відповідає добре відомому в оптиці закону Бугера — Ламберта — Бера. Цей закон в нашому розгляді отриманий в припущенні, що випромінювання, що поглинається, не викликає відхилень розподілу числа частинок по рівнях енергії від термодинамічно рівноважного.
Що проте поглинається системою частинок випромінювання обов'язково порушує теплову рівновагу в ній. У разі, коли вірогідність переходів під впливом зовнішнього поля стає порівнянною з вірогідністю релаксаційних переходів, рівноважний розподіл населеності помітно спотворюється. При цьому відносна частка енергії, системою, що поглинається, зменшується, коефіцієнт поглинання падає, наступає так званий ефект насичення. Очевидно, що в межі, коли інтенсивність поля така велика, що вірогідність індукованих переходів перевищує імовірність релаксаційних переходів, наступає повне насичення, при якому різниця
n1/g1 - n2/g2=0 (3.15)
При n1/g1=n2/g2 система прояснюється; вона прозора для резонансного випромінювання — немає ні поглинання, ні посилення, α= 0.
Протягом багатовікової історії оптики закон Бугера — Ламберта — Бера або еквівалентні йому твердження вважалися непорушною аксіомою. С. И. Вавилов був першим, хто задовго до появи лазерів висловив і обґрунтував думку про можливе зменшення поглинання при збільшенні інтенсивності опромінювання. Нелінійний характер процесу поглинання світла великої інтенсивності дозволив Вавилову ввести термін «нелінійна оптика». Цей термін набув широкого поширення після виникнення лазерів, що зумовили бурхливий розвиток цієї нової області фізики.
Розглянемо зміну населеності в системі двох рівнів енергії, що відбувається під дією резонансного електромагнітного поля, релаксаційних і спонтанних переходів. Ми знаємо, що результатом дії будь-яких релаксаційних механізмів є обмін енергією між системою даних частинок і тепловими коливаннями, що приводить до теплової рівноваги у всій системі в цілому. Як вже наголошувалося, саме релаксаційні взаємодії (спільно із спонтанним випромінюванням, коли воно істотне) встановлюють рівноважний розподіл населеності і створюють умови для продовження поглинання енергії випромінювання.
Випишемо тепер так звані швидкісні (кінетичні) рівняння для населеності двох рівнів енергії n1 і n2. Перш за все, існує закон збереження
n1+n2=n(3.16)
Далі, зміна щільності числа частинок на верхньому рівні n2 дається рівнянням
(3,17)
Тут перший член відповідає відходу частинок з другого рівня за рахунок спонтанного розпаду (вірогідність 1/ τ0 і релаксації (вірогідність ω21), другий член відповідає релаксаційному заселенню другого рівня за рахунок відходу частинок з першого рівня (вірогідність ω12), третій, і четвертий члени описують індуковані переходи 1↔2.
Записуючи W12 ц у вигляді 2B12ρ/π∆νлзгадуючи, що g1B12 = g2B21 і підставляючи n1 = n - n2 ,отримаємо
де введено позначення
(3.19)
для ефективного часу релаксації населеності. У відсутність зовнішнього поля, як видно з рівняння (3.18), система релаксує з часом τ. У стаціонарних умовах (dn2/dt=0)
(3.20)
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 19 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |