У простому вигляді відкритий резонатор складається з двох паралельних пластин, що відображають, тобто дзеркал, па, що знаходяться, деякій відстані 1>>λ один від одного. Часто дзеркала мають круглу форму. Діаметр дзеркал також багато більше довжини хвилі λ, порушуваною в резонаторі. Можна вважати, що між дзеркалами збуджується плоска стояча хвиля, якщо між ними укладається ціле число півхвиль. Якщо розміри дзеркал достатньо великі, то дифракційними втратами енергії можна ' нехтувати. Якщо, крім того, простір між дзеркалами заповнений середовищем без втрат енергії, то добротність резонатора визначається втратами енергії при віддзеркаленні, т. е., точніше кажучи, при ідеальних дзеркалах втратами енергії на випромінювання у на ззовні через дзеркала.
При великих значеннях коефіцієнта віддзеркалення R добротність резонатора можна оцінити з простих енергетичних міркувань. Вважатимемо, що розподіл поля в резонаторі близько до чисто стоячої хвилі. Стояча хвиля еквівалентна двом хвилям рівної інтенсивності, що біжать, розповсюджуються в протилежних напрямах. Хай потік енергії в кожній з цих хвиль, що біжать, рівний Р. Тоді при віддзеркаленні від двох однакових дзеркал втрачається потужність 2Р(1 - R). Разом з тим енергія, накопичена в резонаторі, складає 2Р1/с.
Фізика коливань і електроніка знають багато еквівалентних визначень добротності коливальних систем. Найбільш загальним з них є енергетичне визначення, яке свідчить, що за визначенням добротність резонатора рівна
(6.1)
При цьому
(6.2)
де 
. Дію відзеркалювальних поверхонь можна розглядати як збільшення в 1/(1 - R) разів шляху l, прохідного плоскою хвилею в резонаторі.
Очевидно, що стосовно теорії лазерів потрібний ретельніший аналіз відкритих резонаторів і розподілу поля випромінювання "в них. Зараз для пас важливо лише те, що два паралельні диски, що відображають, тобто два паралельні дзеркала, є резонатором високої добротності. По суті,, відкритий дисковий резонатор є добре відомим в оптиці інтерферометром Фабрі - Перо. Добротність інтерферометра, що розглядається як резонатор, рівна вирішуючій силі інтерферометра, визначуваній як відношення довжини-хвилі до ширини інтерференційної пелюстки δλ на рівні інтенсивності, рівній половині максимальної. Для світла, що проходить, вирішуюча сила інтерферометра Фабрі - Перо обчислена в курсах оптики. При однакових дзеркалах
(6.3)
де ехр (- αl) характеризує втрати енергії при одноразовому проходженні. При
α = 0 і 
формули (6.3) і (6.2) співпадають.
Якщо вважати, що α обумовлено тільки резонансними втратами, то досягши інверсії коефіцієнт втрат ехр(- αl) перетворюється на коефіцієнт посилення по потужності в активній речовині за один прохід К = ехр (α0l). В результаті резонатор регенерується, тобто його добротність зростає, а смуга пропускання звужується. Ми отримуємо
(6.4)
Очевидно, що формула (6.4) справедлива, поки RК < 1.
Для того, щоб краще зрозуміти, що відбувається при регенерації, розглянемо прохідний оптичний підсилювач з резонатором Фабрі - Перо, що є підсилювачем хвилі, що біжить,, поміщений в резонатор Фабрі - Перо. Хай вхідний сигнал падає на ліве часткове прозоре дзеркало резонатора. Простір між дзеркалами заповнений активним середовищем. Розглянемо посилений сигнал, що виходить з резонатора через праве часткове прозоре дзеркало, ідентичне лівому. Коефіцієнт посилення в цій ситуації можна обчислити, проводячи складання амплітуд променів, що вийшли з інтерферометра після багатократних віддзеркалень. При одиничній амплітуді вхідного сигналу поле на виході визначається сумою
(6.5)
Підсумовуючи в припущенні RК < 1 отриману геометричну прогресію, знаходимо комплексний коефіцієнт посилення напруженості поля
(6.6)
Отже, коефіцієнт посилення по потужності
(6.7)
У резонансі, тобто при соs (4πl/λ) = 1
(6.8)
При R = 0 здійснюється режим хвилі, що біжить, і G0 = К. При R = 1 вхідне випромінювання не проходить в підсилювач і G0 = 0. При K = 1 немає ні посилення, ні втрат, G набуває сенсу коефіцієнта передачі еталону Фабрі — Перо, в резонансі рівного одиниці. При K→1/R коефіцієнта посилення
G0 → ∞. Це означає, що виникає генерація.
Проведений розгляд показує, як позитивний зворотний зв'язок приводить до виникнення генерації. Умова
RK=1(6.9)
є, по суті, енергетичною умовою самозбудження. Сенс його простий — втрати енергії за один прохід повинні компенсуватися посиленням за цей же прохід.
Ми розглянули регенерацію прохідного резонатора, заповненого активною речовиною. Цей підсилювач, що має однакові частково прозорі дзеркала на вході і виході, при виконанні умови самозбудження RK = 1 стає генератором, однаково пов'язаним із зовнішнім простором з двох протилежних кінців|. Це не завжди зручно, тому лазер-генератор має зазвичай тільки одне вихідне, тобто часткове прозоре дзеркало. Друге його дзеркало є глухим, тобто не проникним назовні випромінювання. В цьому випадку за наявності інверсії населеності| регенерується не прохідній, а відбивний підсилювач, тобто пристрій, коефіцієнт віддзеркалення від якого перевищує одиницю.
Підсумовуючи аналогічно тому, як це робилося для прохідного підсилювача, амплітуди полий на виході системи, тобто амплітуди полий, що зазнають багатократне віддзеркалення від підсилювача знаходимо
(6.10)
Цьому відповідає
(6.11)
У резонансі, тобто при соs| (4πl/λ) = 1
(6.12)
При R = 1 посилення немає, при R = 0, G0 = К2, тобто здійснюється посилення хвилі, що біжить, двічі проходить через активну речовину. Генерація наступає при виконанні умови самозбудження
RK2=1(6.13)
Можна придумати багато різних схем поєднання системи дзеркал з активною речовиною і для кожної з них отримати умову самозбудження. Загальним для всіх з них буде вимога того, щоб посилення в активній речовині за деякий один ефективний прохід випромінювання через систему дзеркал резонатора і активну речовину перевищувало всі втрати енергії в резонаторі за той же один прохід. При цьому в загальний баланс повинні бути включені як втрати енергії на корисне випромінювання назовні, так і паразитні втрати енергії на розсіяння світла, його поглинання і т.п.
Повернемося до резонансних знаменників формул (6.7) і (6.11). Умова резонансу
cos(4πl/λ)=1(6.14)
еквівалентно добре відомій умові виникнення стоячої хвилі (ціле число півхвиль)
l/λ=m/2, m=1,2,3,… (6.15)
У оптичному діапазоні значення т для відкритих резонаторів складає 105—106. Це приводить до високої щільності резонансів, оскільки відстань між сусідніми резонансами складає
δλ=λ/2m (6.16)
Може трапитися, а саме так йде справа в більшості випадків, що резонансна лінія, що інвертується, ширше за відстань між резонансами:
∆νл/νл>δλ/λ=1/2m (6.17)
Це приводить до ряду важливих особливостей у властивостях відповідних лазерів, які будуть обговорені надалі.
Умова самозбудження RK = 1 або еквівалентні йому дають баланс амплітуд. Проте для виникнення автоколивального режиму необхідний також баланс фаз. Резонансні умови типу (6.14) виконуються для випромінювання тієї частоти, для якої всі фазові набіги взаємно компенсуються. Отже, умову балансу фаз дає значення частоти генерації.
Розглянемо це питання детальніше.
Дисперсійні властивості активного середовища визначають фазовий набіг в робочій речовині. Як добре відомо, для резонансно поглинаючих (що підсилюють) середовищ аномальне поглинання супроводжується аномальною дисперсією. Частотно залежний фазовий| набіг обумовлений частотною залежністю сприйнятливості середовища. Показник заломлення
(6.18)
де діелектрична сприйнятливість χ записується у вигляді
(6.19)
При малих χ ' ї χ "
n=1+2πχ' –j2πχ" (6.20)
Це наближення еквівалентне наближенню малих втрат, (посилення) випромінювання на відстані в одну довжину хвилі. Записуючи плоску хвилю частоти ω (довжини хвилі λ), що розповсюджується у напрямі z, у вигляді
(6.21)
ми бачимо, що уявна частина діелектричної сприйнятливості обумовлює втрати (посилення) випромінювання в речовині, а її дійсна частина — фазовий набіг:
(6.22)
(6.23)
Для визначення χ існують добре розвинені квантовомеханічні| методи. Ми, проте, скористаємося знову класичною аналогією, уподібнюючи дворівневу квантову систему з кінцевим часом життя верхнього рівня класичному осцилятору з тертям. Рівняння
(6.24)
має, як відомо, рішення, що описує вимуене коливання:
(6.25)
З визначення діелектричної сприйнятливості як коефіцієнта пропорційності між дипольним моментом одиниці об'єму і напруженістю поля слідує пропорційність χ викликаному полемо зсуву х. Тоді, записуючи 
в вигляді
(6.26)
де за визначенням δωл =ωл – ω — настроєння частоти випромінювання ω від центральної частоти лінії резонансного переходу ωл, і приводячи χ до вигляду (6.19), отримуємо
(6.27)
(6.28)
де В — константа|, а Δ ωл = γ - Індивідуальні особливості активного середовища зручно врахувати, охарактеризувавши середовище величиною α за допомогою співвідношень (6.28) і (6.22). Це дозволяє виключити константу В| і представити фазовий набіг в речовині у вигляді
(6.29)
де| G = ехр| (-αz).
Отже, фазовий набіг в речовині виникає при настроєнні частоти випромінювання від центру лінії. Речовина поміщена в резонатор, і на дисперсійній кривій резонатора також відбувається фазове зрушення. Проходження випромінювання через резонатор описується частотною функцією передачі резонатора. В рамках однієї коливальної моди фазова характеристика резонатора повністю еквівалентна характеристиці одиночного LCR-контура. Як відомо, і це легко показати за допомогою еквівалентної схеми резонансного фільтру, зрушення фази між вхідним і вихідним сигналами може бути представлене у вигляді
(6.30)
де Q — добротність резонатора, а ωл —| його власна частота. Вводячи за визначенням δωр =ωр – ω — настроєння частоти випромінювання ω від ωр і вважаючи її малою, отримуємо
(6.31)
де Δ ωр — ширина смуги пропускання резонатора (у одній моді). Тоді, прирівнюючи фазові зрушення (6.31) і (6.29), отримуємо умови балансу фаз, задаючої частоту генерації лазера (мазера).
Настроєння частоти генерації від власної частоти резонатора і від частоти лінії зв'язані співвідношенням
(6.32)
Де | 
Інакше кажучи, частота генерації
(6.33).
відрізняється як від частоти резонатора, так і від частоти лінії,, якщо тільки резонатор не точно налаштований на лінію (ωр 
ωл |). Тільки у межі дуже вузької лінії або дуже високого посилення (Δ ωр/lnK→0) ω → ωр. В межі дуже широкої лінії (Δ ωр >> Δ ωлlnK) частота генерації визначається частотою резонатора. Ці міркування мають пряме відношення до проблеми квантових стандартів частоти на основі молекулярних генераторів, з однією сторони|, і лазерів з перебудованою частотою випромінювання — з іншою.
Формула (6.33) була отримана| А. М. Прохоровим в 1954 р. стосовно аміачного молекулярного генератора і в декілька іншому запису, однак| її загальне значення було підкреслене ще в ті роки. З лазерної точки зору важливо відзначити, що у разі широкої лінії частота генерації визначається настройкою резонатора. Якщо лінія неоднорідний розширений і перекриває декілька мод резонатора (див. формулу (6.17)), то генерація| виникає па декількох частотах, відповідних цим модам.
Отже, при регенерації квантового підсилювача в процесі зворотного зв'язку, що виникає при приміщенні підсилювача в резонатор, відбувається його самозбудження, тобто перетворення на генератор. Аналіз коефіцієнта посилення регенерованого підсилювача дозволив визначити умову самозбудження — знайти величину мінімального| необхідного для генерації коефіцієнта посилення за один| прохід (поріг самозбудження). Аналіз фазових співвідношень при самозбудженні дозволив знайти частоту генерації. Лінійна теорія на більше не здатна. Амплітуда генерації може бути знайдена тільки з урахуванням нелінійності процесу посилення, тільки в рамках нелінійної| теорії.
Звернемося тепер до питання про вихідну потужність лазерних: генераторів. Як і у разі квантових підсилювачів, що визначає роль тут грають ефект насичення і наявність втрат випромінювання.
Розглядатимемо лазер з одним дзеркалом, що повністю відображає (глухим), і іншим дзеркалом, що володіє прозорістю Т = 1-R (часткове прозоре вихідне дзеркало). У резонаторі| лазера підсилювальне випромінювання | розповсюджується в активному| середовищу між дзеркалами у вигляді послідовності наростаючих хвиль, що біжать, передбачуваних плоскими. Напишемо рівняння перенесення для хвиль, що біжать зліва направо і справа наліво:
(6.34)
Тут інтенсивність вимірюється в одиницях| інтенсивності насичення
(J = I/Is), а індекси ± відзначають хвилі, що розповсюджуються в протилежних напрямах. Крім того, прийнято
Мал. 6.1. Розподіл інтенсивностей| стрічних хвиль в резонаторі|.лазера завдовжки l. Зліва направо розповсюджується випромінювання з інтенсивністю I+(z), справа наліво — з інтенсивністю I-(z).
що в кожному довільному перетині z ефект насичення визначається сумарною усередненою інтенсивністю потоків енергії зліва направо і справа палевий, тобто нехтує впливом модової| структури поля випромінювання в резонатора| па ефект насичення.
Системі рівнянь (6.34) відповідає схема, представлена на мал. 6.1. Для значень J на межі z = 0 введемо позначення J(+)(0) = J1, J(-)(0) = J2. Вважаємо, крім того, що R(0) = R і R(l) = 1. Тоді умова стаціонарності генерації приводить до граничних умов
J1=RJ2, J(-)(l)=J(+)(l)=J0(6.35)
Вихідна інтенсивність
(6.36)
Тепер поділимо рівняння (6.34) один на одного:
(6.37)
що легко інтегрується:
J(+)J(-)=const. (6.38)
Оскільки при z=l J(+)=J(-)=J0 const=J02.Відповідно| рівняння (6.34) мають інтеграл
(6.39)
де J0 — інтенсивність, падаюча на праве (глухе) дзеркало. Ця інтенсивність простим співвідношенням пов’язана| з вихідною інтенсивністю. Дійсно, оскільки
J
то
Таким чином
(6.40)
Далі рішення йде по наступній схемі. Записуємо J(-) у вигляді
J(-) = J02/ J(+) підставляємо в перше з рівнянь (6.34) опускаємо індекс + і отримуємо рівняння
(6.41)
яке інтегрується в елементарних функціях.
Цікаво бачити, як змінюеться| через наявність зворотного зв'язку і зворотної хвилі характер члена, що визначає посилення і насичення, в порівнянні з випадком однієї хвилі, що біжить α(1 + J) (див. формулу (5.17)). Складність запису (6.41) призводить до того, що рішення цього рівняння дається трансцендентним рівнянням алгебри, що погано оглядає і незручним для аналізу.
У окремому випадку сильного насичення| і великого перевищення посилення над втратами (α0/ β > > 1, J >> 1)
(6.42)
при l → ∞
(6.43)
Оскільки довжина генератора передбачається нескінченною, цей вираз не має оптимуму по R Гранично можлива інтенсивність складає
(6.44)
що співпадає, як і слід було чекати, з випадком підсилювача (див. (5.26)).
У протилежному| окремому випадку генератора| щодо малої довжини (βl<< 1) можна вважати, що інтенсивності хвиль J(+) і J(-) наростають по z лінійно. Тоді J(+) + J(-) = const = J і початкові рівняння (6.34) приймають вигляд
(6.45)
і легко інтегруються.
В результаті вихідна інтенсивність нашого генератора досягає максимального значення
(6.46)
при оптимальній прозорості вихідного дзеркала
(6.47)
Величина оптимального зв'язку сильніше залежить від коефіцієнта втрат β, чим максимальна вихідна потужність, відповідна цьому зв'язку. При
α0 = 10-3 см-1, I = 102 см і β= 10-4 см-1 величина Tопт =0,042 і 
. З цього прикладу видно, які високі вимоги пред'являються до лазерних дзеркал при невеликих коефіцієнтах посилення, характерних, як правило, для газових лазерів. При такому слабкому зв'язку з резонатора| лазера виходить тільки мала частка сконцентрованої в нім інтенсивності випромінювання. Для даних приведеного прикладу інтенсивність випромінювання, падаючого зсередини резонатора| на його глухе дзеркало, приблизно до 20 разів перевищує вихідну інтенсивність (див. формулу (6.40)). При великих посиленнях ситуація істотно полегшується.
Відмітимо, що велика частина лазерів середніх потужностей працює в умовах, відповідних формулам (6.46) і (6.47).
Підкреслимо також ще раз, що, якщо умови самозбудження лазера-генератора (6.9) (або еквівалентна формула (6.13)) були отримані з лінійної теорії, амплітуда (інтенсивність) генерації була визначена із залученням нелінійної теорії. Цей висновок| є приватним проявом загального положення теорії коливань: амплітуда сталих коливань в автоколивальній системі при виконанні умов самозбудження визначається нелінійною теорією, що враховує нелінійні ефекти в початкових рівняннях. У квантовій електроніці таким нелінійним ефектом є ефект насичення.
Отже, лазер-генератор при малому β/α0 і оптимальному зв'язку випромінює інтенсивність α0lIs Це означає, що вся запасена в активній речовині лазера енергія випромінюється в зовнішній простір. Цей висновок має загальне значення. Показати його спільність можна, зробивши оцінку потужності, що випромінюється з резонатора лазера в зовнішній простір, в рамках еквівалентної схеми із зосередженими постійними.
Представимо резонатор лазера у| вигляді резонансного RLC-контуру (мал. 6.2). Випромінююча активна речовина еквівалентна генератору з э. д. с. Еmax, що володіє внутрішнім опором Rізл і включеному в послідовний коливальний контур Rо, Lо, Cо. Випромінювання в зовнішній простір представимо індуктивним зв'язком контура з узгодженою довгою лінією. Хай опір навантаження довжиною| лінії рівний Zн, взаємна індуктивність петли зв'язки рівна М.
Випромінювана речовиною потужність простим співвідношенням
Pвипр=Eвипр2/4Rвипр (6.48)
пов'язана з э. д. с. і внутрішнім опором генератора.
Мал. 6.2. Еквівалентна схема резонатора лазера з випромінюючою| активною речовиною:|
Еквівалентній схемі (мал. 6.2) на резонансній частоті відповідають рівняння Кірхгофа
(6.49)
Виключаючи з рівнянь (6.49) струм в резонаторі Ір, отримуємо вираз для струму через навантаження Ін:
(6.50)
де введені позначення для добротності зв'язку
(6.51)
власній добротності резонатора
(6.52)
добротності, пов'язаній з внутрішнім опором генератора э.д.с
(6.53)
Потужність, що розсіюється в опорі навантаження, рівна
(6.54)
Запис зв'язку вихідної потужності з потужністю, що генерується джерелом э.д.с. у контурі, через добротності, введені тут співвідношеннями (6.51) — (6.53), добре відомими в теорії резонансних контурів, але що мають вельми загальний енергетичний сенс (див. (6.1)), додає отриманому співвідношенню достатньо-загальний характер.
Вихідна потужність може бути оптимізована зміною зв'язку із зовнішнім простором. Формула (6.54) дозволяє знайти максимальну вихідну потужність
(6.55>
яка досягається при оптимальному зв'язку
(6.56)
Коли втратами в резонаторі можна нехтувати (1/Q0< 1/Q 
|), при оптимальному зв'язку вся випромінювана потужність поступає в корисне навантаження. По суті, петля зв'язки резонатора з лінією грає роль трансформатора імпедансу, що погоджує внутрішній опір джерела з опором корисного навантаження. У лазерному випадку цю роль виконує частково прозоре вихідне дзеркало, що погоджує активну речовину резонатора лазера з вільним простором.
Фізично лазерна генерація обумовлена випромінюванням середовища з інверсією населеності|. Інтенсивність генерації визначається щільністю інверсії населеності|.|. Для оцінок того, що може дати активне середовище, особливо у разі могутніх лазерів, зручно користуватися наступними простими міркуваннями. Хай в стаціонарних умовах швидкість створення інверсії складає 
частинок в одиничному об'ємі за одиницю часу. Тоді максимально можлива потужність випромінювання, віднесена до одиниці об'єму, складає
(6.57)
Це просте співвідношення приводить, наприклад, в випадку С02-лазерів (α = 10,6 мкм|) до такої оцінки, що при масовій витраті збудженого газу М[кг/с] максимальна потужність генерації складає 250М [кВт], що відповідає потужності 250 кВт при масовій витраті 1 кг/с.
Для імпульсних лазерів енергія генерації визначається енергією, накопиченою в активній речовині до моменту почала генерації, тобто інверсією, створеною до моменту почала генерації. Оскільки генерація припиняється, коли зникає інверсія,, що відбувається при зрівнюванні населеності| верхнього і нижнього| лазерних рівнів, то інверсії в N частинок відповідає випромінювання з енергією
Eвипр=Nhν/2(6.58)
Для С02-лазера це означає 125 кДж| при 1 кг збудженого С02.
Лекція сьома. ВІДКРИТІ РЕЗОНАТОРИ
Резонатори в електроніці. Перехід до коротких хвиль. Падіння добротності і згущування резонансів замкнутих об'ємів. Відкриті резонатори, проріджування спектру. Число Френеля. Моди. Час життя моди пасивного резонатора. Дифракційні втрати. Метод Фокса і Лі. Інтегральне рівняння відкритого резонатора.
Попереднє викладене| приводить до висновку, що в основі квантової електроніки лежить активне середовище з інверсією населеності|.|, охоплена позитивним зворотним зв'язком, здійснюваним ефектом індукованого випускання випромінювання в резонаторі. У цьому поєднанні активного середовища, індукованого випромінювання і резонатора активне середовище запасає енергію і підсилює випромінювання, що генерується, індуковане випромінювання забезпечує когерентність посилення, а резонатор формує спектральні і просторові властивості випромінювання, що генерується.
Квантова електроніка, принаймні по своєму походженню, є частиною електроніки, до теперішнього часу — оптичною частиною електроніки. Добре відомо, що в класичній електроніці довгохвильового і СВЧ діапазонів визначальною характеристикою монохроматичного випромінювання є його частота. Значення частоти задається резонансним контуром. Для довгих хвиль використовуються квазістаціонарні| ланцюги змінного струму, тобто ланцюги із зосередженими постійними. Отже, розміри відповідних резонансних контурів багато менше довжини хвилі випромінювання. При переході до СВЧ| через різке укорочення довжини хвилі пені стають істотно нестаціонарними, хвилевими. Для каналізації енергії в цьому діапазоні застосовуються хвилеводи різного типу — коаксіальні, порожнисті трубчасті, діелектричні. Відрізки цих повноводних пристроїв, належним чином закорочені і просторово організовані відповідно до електродинаміки СВЧ| і очікуваним розподілом полий в них. є резонаторами СВЧ|.
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 19 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |