Читайте также:
|
Пусть функция 
определена на интервале 
. Выберем на интервале точки 
и 
, 
. Построим прямую, проходящую через точки 
и 
графика функции. Уравнение прямой
.
Определение 1. Функция называется выпуклой вниз на интервале , если для любых точек и из интервала , , и для любого lÎ[0; 1] выполняется неравенство
f (l x 1 +(1–l) x 2) £ l f (x 1) + (1–l) f (x 2), (1)
Если при lÎ[0; 1] неравенство (1) выполняется строго, то функцию называют строго выпуклой вниз на интервале .
Определение 2. Функция называется выпуклой вверх на интервале , если для любых точек и из интервала , , и для любого lÎ[0; 1] выполняется неравенство
f (l x 1 +(1–l) x 2) ³ l f (x 1) + (1–l) f (x 2), (2)
Если при lÎ[0; 1] неравенство (2) выполняется строго, то функцию называют строго выпуклой вверх на интервале .
Геометрически строгая выпуклость вниз (вверх) означает следующее. Хорда, соединяющая любые две точки графика функции на (a, b) расположена ниже (выше) соответствующей дуги графика.
Достаточные условия строгой выпуклости вниз. Если функция дважды дифференцируема на интервале , и производная второго порядка положительна во всех точках интервала, то функция строго выпукла на интервале .
Достаточные условия строгой выпуклости вверх. Если функция дважды дифференцируема на интервале , и производная второго порядка отрицательна во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх на интервале .
Пусть функция определена в окрестности 
и, по крайней мере, один раз дифференцируема в точке 
. Обозначим
уравнение касательной, проходящей через точку 
.
Определение. Точка 
называется точкой перегиба функции , если в этой точке меняется характер выпуклости функции.
Необходимое условие существования точки перегиба. Если - точка перегиба дважды дифференцируемой функции , то производная второго порядка 
.
Достаточные условия существования точки перегиба. Если функция дважды дифференцируема в окрестности точки , производная второго порядка 
меняет знак при переходе переменной через точку , то - точка перегиба функции.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 80 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Условия монотонности и существования экстремума | | | Наклонные асимптоты |