Рівняння Беселя, Ейлера).

- + y =0

Зробимо заміну cos =x

+ y=0; ;

y₁ = cos(n ) = cos(n arccos x)

y₂ = sin(n ) = sin(n arccos x)

Отримали многочлени Чебишева

n =1:

y₁ = cos(arccos x) = x

n=2:

y₁ = cos(2 arccos x) = 2cos² (arccos x) – 1 = 2x²-1.

Рівняння Беселя

+

n=

Заміна

z’’ + z =0

y₁ = y₂ =

Рівняння Ейлера

Зробимо заміну x = . Отримаємо рівняння з постійними коефіцієнтами.

Інтегрування диференційних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

Кожну функцію можна розкласти в ряд Тейлора (Маклорена)

- степеневий ряд. Область збіжності: |x|<R.

Розглянемо рівняння

|x|<R;

Коефіцієнти нашого рівняння розкладаються в ряди.

Тоді шукаємо:

+ +

|

|

…

грають роль довільних сталих. Тому з даної системи послідовно визначаються всі через

та :

и :

Якщо ряди для функцій p(x) та q(x) збігаються при |x|<R, то при цих же значеннях x збігається і побудований степеневий ряд для розв’язку.

Дата добавления: 2015-08-13