Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Визначник Вронського

Нехай задано n функцій, що мають неперервні похідні до (n-1) порядку включно.

Утворимо визначник:

- визначник Вронського

Теорема. Якщо функції лінійно залежні, то визначник Вронського дорівнює 0.

Доведення: Якщо функції лінійно залежні, то :

, тоді

Знайдемо похідні

………

Якщо перший стовпчик визначника Вронського помножити на (-β1), другий стовпчик визначника Вронського помножити на (-β2),... і додати до останнього стовпчика, то останній стовпчик буде дорівнювати 0, тоді визначник = 0.

Теорема. Якщо y1 , y2,..., уn лінійно незалежні на a<x<b, то визначник Вронського в жодній точці цього проміжку не дорівнює 0.

Доведення:

Припустимо супротивне: нехай існує точка :

Позначимо ,

Складемо систему:

Це лінійна однорідна система з n рівнянь з n невідомими, відносно . Визначник цієї системи співпадає з визначником Вронського в точці і по припущенню він дорівнює 0. Тоді з нашої системи можемо знайти ненульовий розв’язок

Розглянемо функцію

, тоді за наслідком з теореми 2 теж є розв’язком рівняння L[y]=0. В силу нашої системи

Знайшли, що у нас є розв’язок нашого рівняння, який відповідає всім початковим умовам, а це означає що

, то це означає, що лінійно залежні – це суперечність умові теореми.

Висновок.

Визначник Вронського, складений для системи n розв’язків рівняння L[y]=0, або тотожно дорівнює 0, або не дорівнює 0 в жодній точці інтервалу, в якому коефіцієнти рівняння неперервні.

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 183 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Конкуренция из-за ограниченных ресурсов. Глупая ярость | Критическое мышление | Примитивный автоматизм | Современный автоматизм | Стереотипы должны быть священными | Існування загального розв’язку | Теорема Арцела | Доведення теореми Піано | Особливі точки | Інтегруючий множник |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Рівняння, які не розв’язані відносно похідної| Фундаментальна система розв’язків

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)