Лінійні диференційні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо L[y]=y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+..+a_n-1y’+a_ny

де a_i – дійсні числа.

L[y]=0 (1)

1. Потрібно знайти ФСР.

Будемо розшукувати розв’язок рівняння у вигляді y=e^kx (2), де k-стала, так як сама функція і її похідні до п -того порядку зв’язані лінійною залежністю з коефіцієнтами а_і. Підставимо (2) в (1) kⁿe^kx+...+a_n-1ke^kx+a_ne^kx=0 => kⁿ+…+a_n-1k+a_n=0 (3) – характеристичний многочлен для рівняння (1). Для утворення характеристичного многочлена замість похідної відповідного порядку ставимо таку ж степінь числа k. L[e^kx]= e^kx F(k)=0.

Щоб у= e^kx була розв’язком однорідного рівняння, число k повинно бути коренем характеристичного многочлена. F(k)=0. Взагалі, це алгебраїчне рівняння п -того порядку, яке в множині комплексних чисел завжди має n коренів.

Розглянемо можливі випадки.

Випадок 1. Всі корені різні. Тоді кожному k_і відповідає

Тоді загальний розвязок однорідного рівняння можна подати у вигляді (4).

1. Припустимо, що всі k_і дійсні. Треба впевнитись, що функції лінійно незалежні, для цього розглянемо визначник Вронського.

Це визначник Вандермонда= .

Так як функції лінійно незалежні.

2. Якщо серед коренів є комплексні спряжені k_1,2=a±bi, то їм відповідають комплексні розв’язки e^{(a+bi) x}, e^{(a-bi) x} які будуть комплексними функціями дійсної змінної х.

Лема:

Якщо комплекснозначна функція є розв’язком лінійного диференційного рівняння n -того порядку, то і дійсна, і уявна частини теж є розв’язками диференційного рівняння.

Доведення:

, тобто маємо та .

Повернемося до функції . За формулою Ейлера:

Кожній парі спряжених коренів відповідає дві лінійно-незалежні функції:

,

Тоді загальний розв’язок запишеться в вигляді

Випадок 2. Серед коренів є кратні. Якщо є корінь k₁, який має кратність m₁, то

Формула:

…

Замість у в оператор підставляємо добуток .

Похідні від добутку заміняємо за формулою Ньютона-Лейбниця. Зведемо до такого вигляду.

Кожному оператору можемо поставити у відповідність характеристичні многочлени

- характеристичний многочлен для .

Розглянемо n=m

Нехай k₁ – корінь кратності m₁. Тоді останній многочлен =0.

Якщо m₁<m, тоді можемо записати розв’язок:

Дата добавления: 2015-08-13