Неоднорідне лінійне рівняння n-го порядку

L[y]=y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+…+p_ny=f(x)

Твердження: Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та часткового розв’язку даного неоднорідного рівняння.

Доведення.

Нехай у=У(х) – частковий розв’язок даного неоднорідного рівняння. Це означає, L[y]=f(x).

Зробимо заміну: y=z+Y, z – невідома функція від х.

За властивістю лінійного оператора:

L[y]=L[z+Y]=L[z]+L[Y]=L[z]+f(x). L[z]+f(x)=f(x). L[z]=0. Тобто функція z повинна бути розв’язком однорідного рівняння.

Нехай z₁,z₂…z_n – ФСР даного рівняння. Тоді z=c₁z₁+…+c_nz_n, де с₁,с₂…-const. Розв’язок нашого неоднорідного рівняння: у=c₁z₁+…+c_nz_n+ У(х) – загальний розв’язок. Знайдемо

Нехай для у задані початкові умови: х=х₀, у(х₀)=у₀, у'(х₀)=у'₀

Відносно утворилась лінійна система рівнянь.

Визначник Вронського для фундаментальної системи

у_і(х) – ФСР. У_з.р.о.р.=с₁у₁(х)+…+с_ny_n(x)

Доведено.

Дата добавления: 2015-08-13