Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Функция Ханкеля

Читайте также:
  1. F(x) Функция
  2. II. Функция "холокоста в мире после 1945 г
  3. V. Если жизнь излишне деловая,функция слабеет половая.
  4. а. Морфология и функция BBB
  5. Активационная функция.
  6. Алгоритм RSA. Генерация ключей и функция шифрования
  7. Анатомия и функция наружных мышц глаза

Наряду с функциями Бесселя ν-го порядка Jv(x) большое значение для приложений имеют другие специальные виды решений уравнения Бесселя. К их числу относятся прежде всего функции Ханкеля 1-го и 2-го рода: и , являющиеся комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя. С точки зрения физических приложений основной характеристикой функций Ханкеля является асимптотическое поведение при больших значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как цилиндрические функции, обладающие следующей асимптотикой:

, (1)

, (2)

где точками обозначены более высокого порядка малости относительно 1/x. Условия (1), (2), в силу п.1.4, определяют и однозначно. Разделяя действительную и мнимую части, представим функции Ханкеля в виде

, (3)

, (4)

где функции

, (3′)

, (4′)

имеют асимптотический характер:

, (5)

, (6)

что следует из формул (1) и (2).

Введенная здесь функция Jν(x) является функцией Бесселя ν-го порядка. Мнимая часть Nν(x) функции Ханкеля называется функцией Неймана или цилиндрической функцией 2-го рода ν-го порядка.

Формулы (3) и (4) устанавливают связь между функциями Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом (формула Эйлера). Асимптотические формулы (1), (2), (5) и (6) подчеркивают эту аналогию.

При изучении решений уравнения колебаний

мы видели, что амплитуда U(x,y) установившихся колебаний

удовлетворяет волновому уравнению

.

Если решение волнового уравнения обладает радиальной симметрией: , то, как было отмечено в § 1, функция удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.

Таким образом, функции

, (7)

, (8)

,

являются решениями уравнения колебаний, имеющими характер цилиндрических волн. Функция соответствует расходящимся цилиндрическим волнам, а функция — сходящимся цилиндрическим волнам.

Вторым важным свойством цилиндрических функций является их поведение при . Функции и Nν при обращаются в бесконечность (так как Jv(0) конечно), точнее,

,

так как ,

при , потому что Jv(x) ~ хν при .

Функции Ханкеля и Неймана нулевого порядка являются фундаментальными решениями уравнения

,

поскольку они имеют нужную логарифмическую особенность при

.


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 345 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Уравнение Чебышева- Эрмита | Функции Чебышева-Эрмита | Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра | Уравнение Шредингера | Гармонический осциллятор | Ротатор | Движение электрона в кулоновском поле | Цилиндрические функции | Степенные ряды | Рекуррентные формулы |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Краевые задачи для уравнения Бесселя| Функции Ханкеля и Неймана

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.005 сек.)