Функции Чебышева-Эрмита

В приложениях часто пользуются функциями Чебышева-Эрмита

(14)

образующими ортогональную и нормированную с весом систему на бесконечном интервале <x< :

. (15)

Эти функции обращаются в нуль при и удовлетворяют уравнению

при .

,

,

,

В результате мы получили уравнение для

, (16)

где .

Полиномы Чебышева-Лагерра

Дифференциальная формула

Полиномы Чебышева-Лагерра определим при помощи производящей функции

. (1)

Разложим ее в степенной ряд

, . (2)

и пользуясь теоремой Коши, находим

, (3)

где C -контур, охватывающий точку . Введем новую переменную интегрирования z, положив , ; тогда

,

, (4)

где C ₁-контур, охватывающий точку z = x. Используя теорию вычетов, получаем дифференциальную формулу для полиномов Чебышева-Лагерра

. (5)

Отсюда видно, что есть многочлен степени n.

Дата добавления: 2015-07-08