Примечания

1. Процедура определения кривизны траектории может некоторыми деталями отличаться от рассмотренной выше. Например, касательное ускорение a _τ можно искать, исходя из зависимости:

| v |² = v _τ² = v_x ² + v_y ² + v_z ²,

дифференцируя которую, получим:

,

откуда

что совпадает, как видим, с формулой (2.21) при движении точки в плоскости xOy.

Нормальное ускорение a_n также можно найти, исходя из соотношения

,

однако в любом случае мы определяем радиус кривизны траектории как ρ = v ²/ a_n.

2. Проверить правильность полученных результатов можно с помощью зависимости:

a _τ² + a_n ² = a_x ² + a_y ².

3. Если скорость точки, движущейся по плоской кривой с конечным радиусом кривизны в некоторый момент времени станет равной нулю , то вместе со скоростью обратится в ноль и нормальное ускорение, поэтому формулы (2.23) и (2.24) дадут неверный результат.

Для определения кривизны кривой в этом случае вместо (2.24) нужно воспользоваться формулой (2.25) или изменить закон движения точки по траектории, что никак не повлияет на ее кривизну.

Пример 2.4. Определить минимальный и максимальный радиус кривизны эллипса с полуосями a и b (рис. 2.11).

Решение. Зададим любой закон движения точки, возможный при данной траектории. Например:

x = a cos t;

y = b sin t.

В самом деле, исключая параметр t, получим уравнение траектории, представляющей собой эллипс с полуосями a и b:

(x / a)² + (y / b)² = 1.

Проекции скоростей и ускорений будут равны:

Минимальный радиус кривизны эллипса будет в точке А, которой соответствует t = 0:

Максимальный радиус кривизны будет в точке В при t = π/2:

Подставляя в (2.23), получим:

ρ _А =

ρ _В =

Ответ: ρ _А = b ²/ a; ρ _В = a ²/ b.

Пример 2.5. Определить максимальную и минимальную кривизну траектории в примере 2.3.

Решение. Максимальная кривизна и соответственно минимальный радиус кривизны будут в нижней точке траектории, где движущаяся точка находится в начальный момент времени t ₁ = 0 и затем через каждые π секунд.

Подставляя в формулу (2.24) , , получим:

k (0) = 1/ρ(0) =

Минимальной будет кривизна в самых верхних точках траектории, куда движущаяся точка попадает в моменты времени t ₂ = π/2 и затем через каждые π секунд. При этом скорость и нормальное ускорение точки обращаются в ноль и формула (2.24) приводит к неопределенному результату.

В таких случаях, как уже отмечалось выше, нужно воспользоваться формулой (2.25) или изменить закон движения точки по траектории, задав его, например, в виде: x = t, y = t ². При этом точке М ₂(1,1) на рис. 2.10 будет соответствовать момент времени t = 1, для которого

и по формуле (2.24) для точки М ₂(1,1) мы получим:

k (1,1) =

Ответ: k (0,0) = 2; k (1,1) = .

Дата добавления: 2015-07-07