Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения равнопеременного движение точки

Читайте также:
  1. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  2. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  3. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  4. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  5. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  6. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  7. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)

 

Рассмотрим подробнее этот случай движения при следующей постановке задачи. Известно aτ= const, а также заданы значения дуговой координаты и скорости в начальный момент времени при t = 0: s(0) = s0 и v(0) = v0. Нужно найти закон движения точки s = s(t).

Математически поставленная задача формулируется как задача Коши для дифференциального уравнения

 

d2s/dt2 = aτ (2.15)

 

при заданных начальных условиях:

 

s(0) = s0 и v(0) = v0 . (2.16)

 

Уравнение (2.15) второго порядка эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

 

dv/dt = aτ; (2.17)

 

ds/dt = v. (2.18)

 

Разделяя переменные в (2.17), получим:

 

dv = aτ dt.

 

Интегрируя, найдем закон изменения скорости:

 

(2.19)

 

В математике последнее выражение называется первым интегралом. Подставляя (2.19) в (2.18) и снова интегрируя, получим второй интеграл, или решение задачи Коши (2.15) – (2.16).

В механике полученное выражение называется законом или уравнением равнопеременного движения:

 

s(t) = s0 + v0t +(1/2)aτt2. (2.20)

 

Пример 2.2. Перейти от координатного к естественному способу задания движения при данных из примера 2.1:

 

x = 2 + 2 sin (πt/2); (а)

y = 1 + 2 cos (πt/2)

 

и классифицировать движение точки.

 

Решение:

1). Уравнение траектории, необходимое для задания движения точки в естественной форме, уже было получено в примере 2.1: .

 

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 4.

 

2). Определяем положение точки на траектории в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (а):

 

x(0) = 2 + 2 sin (0) = 2;

 

y(0) = 1 + 2 cos (0) = 3

 

и выбираем эту точку O'(2,3)за начало отсчета (рис. 2.9).

 

 

3). Определяем скорость точки в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (б) в примере 2.1:

 

vx(0) = π cos (0) = π;

 

vy(0) = = – π sin (0) = 0.

 

Вектор начальной скорости v(0) направлен вправо, то есть точка движется по ходу часовой стрелки. Это направление и примем за положительное направление отсчета дуговой координаты s.

4). Чтобы найти закон движения s = s(t) воспользуемся соотношением

 

ds = .

 

Подставляя сюда dx = (dx/dt)dt = и dy = (dy/dt)dt = , и учитывая, что = vτ , придем к соотношению:

 

ds = = dt = vτ dt.

 

Интегрируя и учитывая, что vτ = |v| = π, найдем искомое уравнение движения точки:

 

s = πt.

 

5). Касательное ускорение точки aτ = = 0, полное ускорение точки в каждый момент времени направлено по нормали.

 

Ответ: точка равномерно движется по окружности (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 в направлении хода часовой стрелки по закону s = πt.

 

Пример 2.3. Определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям движения:

x = sint, (а)

y = sin2t,

 

где x, y в метрах, для следующих моментов времени: t1 = 0, t2 = π/2 и t3 = 5π/4с.

Решение:

1). Исключая из (а) параметр t,получим уравнение: y = x2. Траекторией по определению будет только часть этой параболы: |x| ≤ 1 (рис. 2.10).

 

2). Определяем положение точки на траектории в указанные моменты времени:

 

x(t1) = x(0) = 0, y(t1) = y(0) = 0;

 

x(t2) = x(π/2) = sin(π/2) = 1, y (t2) = y(π/2) = sin2(π/2) = 1;

_

x(t3) = x(5π/4) = sin(5π/4) = – Ö2/2 , y (t3) = y(5π/4) = sin2(5π/4) = 1/2

 

и отмечаем их на траектории: M1 = M(t1), M2 = M(t2) и M3 = M(t3), при этом M1 совпадает с началом координат – центром О.

 

 

3). Определяем проекции скорости точки, дифференцируя уравнения (а):



 

, (б)

 

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

 

;

 

;

 

 

и строим векторы скоростей v(t1) и v(t3), отмечая при этом, что v(t2) = 0.

3). Находим проекции вектора ускорения, дифференцируя уравнения (б):

 

, (в)

 

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

 

;

 

;

 

 

и строим векторы ускорений a(t1), a(t2) и a(t3).

Отметим, что в точке M1 вектор a(t1) = an(t1), то есть он перпендикулярен вектору скорости v(t1) и совпадает с нормальной составляющей ускорения, в то время как aτ(t1) = 0. При этом скорость движущейся точки достигает максимального значения.

 

В точке M2 наоборот – максимального значения достигает ускорение точки, вектор которого a(t2) совпадает с касательной составляющей ускорения, поскольку an(t2) = 0. При этом на участке M1M2, то есть в течение интервала времени от t1 до t2, точка движется замедленно. Затем от t2 = π/2 до t = π точка будет двигаться ускоренно.

Загрузка...

Аналогично происходит и на участке M1M4, где точка также движется замедленно в течение интервала времени (π,3π/2). При этом в точке M3 отличны от нуля как касательное, так и нормальное ускорения.

 

Ответ. Траектория точки – часть параболы: y = x2, |x| ≤ 1, точка совершает периодическое колебательное движение относительно положения равновесия, совпадающего с началом координат.

Векторы скоростей и ускорений точки в указанные моменты времени равны:

v(t1) = (1,0); v(t2) = (0,0); v(t3) = ( ,1);

 

a(t1) = (0,2); a(t2) = (–1,–2); a(t3) = ( ,0).

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 179 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ | Предмет теоретической механики | Скорость и ускорение при векторном способе задания движения | Скорость и ускорение при координатном способе задания движения | Естественные оси координат | Кривизна кривой | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скорость точки при естественном способе задания движения| Определение радиуса кривизны траектории

mybiblioteka.su - 2015-2017 год. (0.009 сек.)