Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения равнопеременного движение точки

Читайте также:
  1. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  2. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  3. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  4. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  5. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  6. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  7. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)

 

Рассмотрим подробнее этот случай движения при следующей постановке задачи. Известно a τ= const, а также заданы значения дуговой координаты и скорости в начальный момент времени при t = 0: s (0) = s 0 и v (0) = v 0. Нужно найти закон движения точки s = s (t).

Математически поставленная задача формулируется как задача Коши для дифференциального уравнения

 

d 2 s / dt 2 = a τ (2.15)

 

при заданных начальных условиях:

 

s (0) = s 0 и v (0) = v 0. (2.16)

 

Уравнение (2.15) второго порядка эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

 

dv / dt = a τ; (2.17)

 

ds / dt = v. (2.18)

 

Разделяя переменные в (2.17), получим:

 

dv = a τ dt.

 

Интегрируя, найдем закон изменения скорости:

 

(2.19)

 

В математике последнее выражение называется первым интегралом. Подставляя (2.19) в (2.18) и снова интегрируя, получим второй интеграл, или решение задачи Коши (2.15) – (2.16).

В механике полученное выражение называется законом или уравнением равнопеременного движения:

 

s (t) = s 0 + v 0 t +(1/2) a τ t 2. (2.20)

 

Пример 2.2. Перейти от координатного к естественному способу задания движения при данных из примера 2.1:

 

x = 2 + 2 sin (π t /2); (а)

y = 1 + 2 cos (π t /2)

 

и классифицировать движение точки.

 

Решение:

1). Уравнение траектории, необходимое для задания движения точки в естественной форме, уже было получено в примере 2.1:.

 

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 4.

 

2). Определяем положение точки на траектории в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (а):

 

x (0) = 2 + 2 sin (0) = 2;

 

y (0) = 1 + 2 cos (0) = 3

 

и выбираем эту точку O' (2,3)за начало отсчета (рис. 2.9).

 

 

3). Определяем скорость точки в начальный момент времени, подставляя t = 0 в уравнения (б) в примере 2.1:

 

vx (0) = π cos (0) = π;

 

vy (0) = = – π sin (0) = 0.

 

Вектор начальной скорости v (0) направлен вправо, то есть точка движется по ходу часовой стрелки. Это направление и примем за положительное направление отсчета дуговой координаты s.

4). Чтобы найти закон движения s = s (t) воспользуемся соотношением

 

ds = .

 

Подставляя сюда dx = (dx / dt) dt = и dy = (dy / dt) dt = , и учитывая, что = v τ, придем к соотношению:

 

ds = = dt = v τ dt.

 

Интегрируя и учитывая, что v τ = | v | = π, найдем искомое уравнение движения точки:

 

s = π t.

 

5). Касательное ускорение точки a τ = = 0, полное ускорение точки в каждый момент времени направлено по нормали.

 

Ответ: точка равномерно движется по окружности (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 в направлении хода часовой стрелки по закону s = π t.

 

Пример 2.3. Определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям движения:

x = sin t, (а)

y = sin2 t,

 

где x, y в метрах, для следующих моментов времени: t 1 = 0, t 2 = π/2 и t 3 = 5π/4с.

Решение:

1). Исключая из (а) параметр t,получим уравнение: y = x 2. Траекторией по определению будет только часть этой параболы: | x | ≤ 1 (рис. 2.10).

 

2). Определяем положение точки на траектории в указанные моменты времени:

 

x (t 1) = x (0) = 0, y (t 1) = y (0) = 0;

 

x (t 2) = x (π/2) = sin(π/2) = 1, y (t 2) = y (π/2) = sin2(π/2) = 1;

_

x (t 3) = x (5π/4) = sin(5π/4) = – Ö2/2, y (t 3) = y (5π/4) = sin2(5π/4) = 1/2

 

и отмечаем их на траектории: M 1 = M (t 1), M 2 = M (t 2) и M 3 = M (t 3), при этом M 1 совпадает с началом координат – центром О.

 

 

3). Определяем проекции скорости точки, дифференцируя уравнения (а):

 

, (б)

 

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

 

;

 

;

 

 

и строим векторы скоростей v (t 1) и v (t 3), отмечая при этом, что v (t 2) = 0.

3). Находим проекции вектора ускорения, дифференцируя уравнения (б):

 

, (в)

 

вычисляем их значения для указанных моментов времени:

 

;

 

;

 

 

и строим векторы ускорений a (t 1), a (t 2) и a (t 3).

Отметим, что в точке M 1 вектор a (t 1) = an (t 1), то есть он перпендикулярен вектору скорости v (t 1) и совпадает с нормальной составляющей ускорения, в то время как a τ(t 1) = 0. При этом скорость движущейся точки достигает максимального значения.

 

В точке M 2 наоборот – максимального значения достигает ускорение точки, вектор которого a (t 2) совпадает с касательной составляющей ускорения, поскольку an (t 2) = 0. При этом на участке M 1 M 2, то есть в течение интервала времени от t 1 до t 2, точка движется замедленно. Затем от t 2 = π/2 до t = π точка будет двигаться ускоренно.

Аналогично происходит и на участке M 1 M 4, где точка также движется замедленно в течение интервала времени (π,3π/2). При этом в точке M 3 отличны от нуля как касательное, так и нормальное ускорения.

 

Ответ. Траектория точки – часть параболы: y = x 2, | x | ≤ 1, точка совершает периодическое колебательное движение относительно положения равновесия, совпадающего с началом координат.

Векторы скоростей и ускорений точки в указанные моменты времени равны:

v (t 1) = (1,0); v (t 2) = (0,0); v (t 3) = (,1);

 

a (t 1) = (0,2); a (t 2) = (–1,–2); a (t 3) = (,0).

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 439 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ | Предмет теоретической механики | Скорость и ускорение при векторном способе задания движения | Скорость и ускорение при координатном способе задания движения | Естественные оси координат | Кривизна кривой | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скорость точки при естественном способе задания движения| Определение радиуса кривизны траектории

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.014 сек.)