Скорость и ускорение при координатном способе задания движения

Пусть дан закон движения точки М в координатной форме:

x = f ₁ (t);

y = f ₂ (t); (2.2´)

z = f ₃ (t),

а нужно найти ее скорость v и ускорение a.

Представим радиус-вектор движущейся точки в виде:

r = x i + y j + z k, (2.5)

где x, y и z – координаты точки М в момент времени t, а i, j, k – неподвижные орты системы координат.

Дифференцируя (2.5) по времени, получим с учетом (2.3) и (2.4):

v = d r / dt = i + i + i; (2.6)

a = d v / dt = i + i + i.

С другой стороны:

v = v_x i + v_y i + v_z i; (2.7)

a = a_x i + a_y i + a_z i.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах в (2.6) и (2.7), найдем

проекции векторов v и a на оси координат:

(2.8)

Модули векторов v и a будут равны:

v = | v | =

a = | a | =

Направляющие косинусы:

cos(v, i) = v_x / v; cos(v, j) = v_y / v; cos(v, k) = v_z / v;

cos(a, i) = a_x / a; cos(a, j) = a_y / a; cos(a, k) = a_z / a.

Пример 2.1. Построить траекторию, а также найти скорость и ускорение точки в момент времени t = 1/2с при заданных уравнениях движения:

x = 2 + 2 sin (π t /2); (а)

y = 1 + 2 cos (π t /2),

где x, y в метрах.

Решение.

1). Исключаем из уравнений (а) время t.

(x – 2) = 2 sin (π t /2);

(y – 1) = 2 cos (π t /2).

Возводя в квадрат и суммируя, получим уравнение траектории:

(x – 2)² + (y – 1)² = 4,

которая представляет собой окружность радиуса R = 2 с центром в точке (2,1) (рис.2.3).

2). Определяем положение точки на траектории в указанный момент времени, подставляя t = 1/2 в уравнения (а):

x (1/2) = 2 + 2 sin (π/4) = 2 + ;

y (1/2) = 1 + 2 cos (π/4) = 1 + .

3). Определяем скорость точки в указанный момент времени в соответствии с (2.8) и строим вектор скорости v (1/2):

2 cos (π t /2)·(π/2) = π cos (π t /2);

= – 2 sin (π t /2)·(π/2) = – π sin (π t /2);

v_x (1/2) = π cos (π/4) = π /2;

v_y (1/2) = – π /2.

Отметим, что | v | = = π = const.

4). Определяем ускорение точки в указанный момент времени, дифференцируя (б) и строим вектор ускорения a (1/2):

– (π²/2) sin (π t /2);

– (π²/2) cos (π t /2);

a_x (1/2) = – (π²/2) sin (π/4) = π² /4;

a_y (1/2) = – (π²/2) cos (π/4) = – π² /4.

Отметим, что | a | = = π²/2 = const.

Ответ: траекторией точки является окружность (x – 2)² + (y – 1)² = 4, скорость и ускорение точки при t = 1/2с равны: v (1/2) = (π /2, – π /2), a (1/2) = (π² /4, – π² /4).

Дата добавления: 2015-07-07