Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Непрерывные функции.

Читайте также:
  1. II.4. Механизм действия ингибиторов АПФ при эндотелиaльной дисфункции.
  2. NADPH-оксидаза – строение, биологические функции.
  3. Активные формы кислорода – классификация, свойства, функции.
  4. Виды антимонопольных запретов, направленных на недопущение, ограничения, устранения конкуренции органами и организациями, осуществляющими публичные функции.
  5. Возрастные особенности зрительной функции.
  6. Вопрос № 37: Организационная культура и ее функции.
  7. Вопрос №12Прогенез. Сперматогенез. Цитологическая и цитогенетическая характеристика. Строение семенника. Сперматозоид строение и функции.

Это определение можно следующим образом переформулировать на “языке e - d”.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 Î X, если для любого e > 0 найдётся такое d = d (e) > 0, что для всех x Î X, удовлетворяющих условию

|x- x0|<d(e), (2)

выполняется неравенство

|f(x) – f(x0)|< e. (3)

В самом деле, если x0 – предельная точка множества X, то условия (2), (3) повторяют определение предела функции. Если же x0 – изолированная точка, то при достаточно малом d = d (e) единственным элементом множества X, удовлетворяющим условию (2), будет x0, и в этом случае условие (3) выполняется.

Замечание. В отличие от определения предела функции f(x) в неравенстве (3) x может принимать значение, равное x0.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке x ÎX.

Определение. Точка x0 ÎX, в которой функция f(x) непрерывна, называется точкой непрерывности функции f(x). Точка x0 ÎX, не являющаяся точкой непрерывности функции f(x), называется точкой разрыва функции f(x).

Если существует предел f(x) при x ® x0 , но ,

то x0 называют точкой устранимого разрыва функции f(x).

 

 

y
xbfgdfgd
 
X0
f(x0)
y =f(x)

 


Рис. 3.

Замечание. Если x0 – точка устранимого разрыва функции f(x), то функция

g(x) =

будет непрерывной в точке x0. Эта функция отличается от f(x) значением в единственной точке x0 (Рис. 3.).

Пример. Пусть

f(x) =

Очевидно, Точка 0 – точка устранимого разрыва.

Пусть функция f(x) непрерывна на открытом промежутке P. Пусть x0 P.

 

y
f(x0)
f(x0+0)
f(x0-0)

 

 


x0
x
 
Рис. 4.

 

 

Определение. Если существуют пределы и

, причём f (x0 +0) f(x0-0), то точка x0 называется точкой разрыва первого рода. (рис. 4.)

Если не существует хотя бы один из пределов , , то точка x0 называется точкой разрыва второго рода.

Если существует предел , , и f (x0+0) = f(x0), f(x0-0)=f(x0), то говорят, что функция f(x) непрерывна справа (слева).

Примеры. 1. Пусть

f(x) = sgn x =

Очевидно, = 1, = -1, f (0) – 0. Точка 0 – точка разрыва функции sgn x первого рода.

2. Пусть

f(x) =

Предел не существует, так как при xn = , f(xn) 0, а при xn = , f(xn) 1. Очевидно =0. Таким образом, функция f(x) непрерывна слева в точке 0 и имеет в этой точке разрыв второго рода.


 


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ТЕОРЕМА 2. | Сходящиеся последовательности и их свойства. Бесконечно малые последовательности. | Свойства сходящейся последовательности | Монотонные и ограниченные последовательности. Примеры. Число е. | Подпоследовательности. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштраса. Частичные пределы. | Определение предела функции. Критерий Коши. | Теорема 4.1. Определения 1 и 2 эквивалентны. | Основные теоремы о пределах. | Замечательные пределы. | Первый замечательный предел |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Зрения предельного перехода.| Свойства функций непрерывных в точке

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)