Свойства сходящейся последовательности

{X_n}, {У_n} – две последовательности.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {X_n} и {У_n} называются соответствующие последовательности: {X_n + У_n}, {X_n - У_n},{X_nУ_n},{X_n/У_n}-У<>0

(n=1,2…).

Теорема: Пусть последовательность {X_n} и {У_n} сходятся, =X, =У. Тогда сходятся и последовательности:{c x_n} (c=const), {X_n±У_n}, {X_nУ_n}, {X_n/У_n} (последняя при У<>0, n=1,2…) и их пределы вычисляются по формулам:

a) с х_n =c x_n=cx;

b) (x_n±y_n)= x_n± y_n=x±y;

c) (x_ny_n)= x_n* y_n=xy;

d) x_n/y_n= x_n/ y_n=x/y (y<>0, y_n<>0)

Докажем утверждение b)

Возьмем произвольное ɛ>0, найдем такие номера N₁(ɛ/2), N₂(ɛ/2) что |X_n - X|<ɛ/2 при n>N₁(ɛ/2) и |Уn - У|<ɛ/2 при n>N₂(ɛ/2). Положим N(ɛ)=max{N₁(ɛ/2), N₂(ɛ/2)}.Тогда при n>N(ɛ)

|(X_n±У_n) – (X±У)|<|X_n-X|+|Уn-У|<ɛ/2+ɛ/2<ɛ

Теорема сравнения: Пусть заданы последовательности {X_n}, {У_n}, {Z_n}, тогда:

a) Если X_n<=У_n (X_n>=У_n) при n>N₀ и последовательности {X_n} и {У_n} сходятся, то

x_n<= y_n ( x_n>= y_n)

b) Если x_n<=y_n<=z_n при n>N₀ и последовательности пределу, то последовательность {У_n} также сходится при этом: x_n= y_n= z_n

Доказательство:

а) Пусть x_n=x, y_n=y. Предположим противное, т.е, что x>y. В силу сходимости последовательностей {X_n} и {У_n}, для ɛ= (х-у)/2, найдутся такие номера N₁ и N₂,что при n>N₁: |X_n-X|<(х-у)/2, а при n>N₂: |y_n-y|<(x-y)/2. Выбирая N=max {N₁,N₂} получим, что при n>N

x_n – y_n=(x_n - x) – (y_n - y)+(x – y)>= - |x_n – x| - |y_n – y|+(x-y)> - (x-y)/2 – (x-y)/2 + (x-y)=0. Таким образом, x_n>y_n при n>N, что противоречит условию теоремы.

b)Пусть x_n= z_n=a, тогда для любого ɛ >0 существуют такие номера N₁ и N₂, что

|x_n- a|<ɛ при n>N₁ и |z_n - a|<ɛ при n>N₂→что a - ɛ<x_n и z_n<a+ɛ, при n>N₃=max {N₁N₂}.

В силу условий теоремы: a - ɛ<x_n <=y_n<= z_n<a+ɛ при n>N=max {N₀N₃}. Таким образом, y_n=a. т.д.

Бесконечно малые последовательности

Последовательность {X_n} – бесконечно малая, если x_n=0

Если x_n→x, то y_n=x_n-x – бесконечно малая последовательность.

Последовательности, у которых |x_n|=+∞ называют бесконечно большими и пишут x_n=∞

Дата добавления: 2015-07-16