Зрения предельного перехода.

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α= α(х) и β=β(х) есть б.м.ф. при х→х_0, т.е. =0 и =0

1. Если =А≠0, (А R), то α и β называют бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

2. Если =0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

3. Если = , то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β.

4. Если не существует, то α и β называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х , х .

Примеры:

1. Пусть α=3х², β=14х². При х 0 это б.м.ф. одного порядка, так как = = 0. Говорят, что б.м.ф. α и β одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.

2. Пусть α=3х², β=7х. При х функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем β, так как = = =0. В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю, чем .

3. Пусть α=tgx, β=х². Так как

= = ,

то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем β.

4. Функция α=x sin и β=х при х являются несравнивыми б.м.ф., так как предел = = не существует.

Дата добавления: 2015-07-16