Задача 1.10

Показать, что для ядра сферической формы с однородной плотностью электрического заряда энергия кулоновского отталкивания протонов V_с = 0,6 k Z² e ²/ R, где Z и R – заряд и радиус ядра, k – коэффициент пропорциональности, определяемый системой единиц. В СИ k = 9∙10⁹ м/Ф, в СГС k = 1.

Решение. Однородная плотность электрического заряда ядра

.

(1.10.1)

Работа, совершаемая против сил электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса r с зарядом

, r ≤ R,

(1.10.2)

при перемещении заряда dq из бесконечности в точку r будет равна

dA = [φ(r) – φ∞]∙ dq = φ(r) ∙ dq

(1.10.3)

при условии, что φ_∞= 0. В (1.10.3) φ(r) – потенциал электрического поля, создаваемый зарядом q (r) на поверхности сферы радиуса r,

,

(1.10.4)

если использовать выражение (1.10.2).

Дифференцируя (1.10.2) по r, получим связь между изменением заряда сферы при добавлении заряда и ее радиусом:

.

(1.10.5)

Подставив (1.10.4) и (1.10.5) в (1.10.3), получим

.

(1.10.6)

Поскольку совершаемая работа увеличивает потенциальную кулоновскую энергию ядра, то dA = dV_с. Поэтому

.

(1.10.7)

Дата добавления: 2015-07-08