Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Функции мнимого аргумента

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. II. Признаки, ресурсы и функции власти.
  3. II. Функции
  4. II.Синдром дисфункции синусового узла (СССУ) I 49.5
  5. III. Органы, объединяющие эндокринные и неэндокринные функции
  6. III. Функции политологии. Возрастание роли политических знаний в жизни общества.
  7. III. Функции Совета

Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. Рассмотрим цилиндрические функции 1-го рода от чисто мнимого аргумента.

Подставляя в ряд, определяющий Jν(x), значение ix вместо x, получаем

, (15)

где

(16)

- вещественная функция, связанная с Jν(ix) соотношением

, или .

В частности, при ν=0

(17)

Из ряда (16) видно, что Iν(x) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при x=0 нуль ν-го порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для Iν(x) должна иметь место асимптотическая формула

, (18)

при больших значениях аргумента x.

Аналогично вводится I-ν(x). Функции Iνи I-ν при нецелом ν линейно независимы, так как в точке x=0 при ν>0 функция Iν(x) имеет нуль ν-го порядка, а I-ν(x) – полюс x=0. Если ν=n – целое число, то I-n(x)= In(x).

Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения

(19)

и, в частности, функция I0(x) удовлетворяет уравнению

. (20)

Наряду с функцией Iν(x) рассматривают функцию Макдональда Kν(x), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

. (21)

Kν(x) является вещественной функцией x. Формула (12) и (13) дают

при ν≠n,

. (22)

Пользуясь асимптотическим выражением для , находим:

(23)

Формулы (23) и (18) показывают, что Kν(x) экспоненциально убывают, а Iν(x) экспоненциально возрастают при x→ . Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации

.

В частности, если y ограничено на бесконечности, то A=0 и B=0 и y=AIν(x).

Из линейной независимости Iνи Kνследует, что Kν(x) имеет в точке x=0 полюс ν-го порядка (Kν(x) ) при ν≠0 и логарифмическую особенность при ν=0.

при x→0.

Наиболее важное значение имеет функция

. (23)

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 193 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра | Уравнение Шредингера | Гармонический осциллятор | Ротатор | Движение электрона в кулоновском поле | Цилиндрические функции | Степенные ряды | Рекуррентные формулы | Краевые задачи для уравнения Бесселя | Функция Ханкеля |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Функции Ханкеля и Неймана| ПЕРЕДМОВА

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.006 сек.)