Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Кориолиса об ускорении точки в сложном движении

Читайте также:
  1. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  2. II. СПОСОБЫ РАСЧЕТА ТОЧКИ ОТДЕЛЕНИЯ ПАРАШЮТИСТОВ ОТ ВОЗДУШНОГО СУДНА.
  3. IV. ЗНАЧЕНИЕ ОБЕИХ СИСТЕМ. ЙОГИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПСИХОЛОГИИ И ФИЗИОЛОГИИ
  4. Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей
  5. Абсолютного ускорения точки
  6. Агрегатные состояния вещества и их характеристика с точки зрения МКТ. Плазма. Вакуум.
  7. Анализ с точки зрения дизайна

 

Теорема. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова:

 

aa =ae + ar + ak,(6.5)

 

где последнее равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении:

 

ak = 2(ωе ´ vr). (6.6)

 

Доказательство. Приведем доказательство для случая плоского переносного движения.

Пусть тело, с которым жестко связана локальная система координат Oxyz, движется относительно неподвижной системы отсчета О1ξηζ, скользя нижним основанием по неподвижной плоскости π0, совпадающей с плоскостью О1ξη (рис. 6.2). Пусть точка М перемещается по телу, и в данный момент времени попадает в плоскость π1, параллельную плоскости π0.

Проведем через центр O ось Оξ, параллельную неподвижной оси О1ξ и обозначим через точку пересечения плоскости π1 с осью Оξ.

Движение тела описывается движением плоского сечения π1, которое представим суммой его поступательного движения вместе с полюсом и вращения вокруг оси Оξ с угловой скоростью ωе и угловым ускорением εе.

Абсолютное ускорение точки aa найдем как производную от ее абсолютной скорости va:

 

aa = (dva/dt) (d2ρO /dt2) + ( i + j + k) + [x(d2i/dt2) + y(d2j/dt2) + z(d2k/dt2)] +

 

+ 2[(di/dt) + (dj/dt) + (dk/dt) ] = A + B + C + 2D, (6.7)

 

где di/dt – скорость конца вектора i, вращающегося вокруг оси Оξ с угловой скоростью ωе. По аналогии с (4.9) она равна выражению:

 

di/dt = ωе´i, (6.8)

дифференцируя которое, получим:

 

d2i/dt2 = (εе´i) + ωе´(di/dt) = (εе´i) + ωе´ (ωе´ i). (6.9)

 

С учетом (6.8), (6.9) и таких же формул для других ортов выражения C и D, входящие в (6.7), можно записать в следующем виде:

 

C = [(d2i/dt2) x + (d2j/dt2) y + (d2k/dt2) z] = [(εе´i) + ωе´ (ωе´ i)] x +

 

+ [(εе´j) + ωе´ (ωе´j)]y + [(εе´k) + ωе´ (ωе´k)]z = [εе´ ( xi + yj + zk)] +

 

+ωе´ [ωе ´ ( xi + yj + zk)] = (εе´r) + ωе´ (ωе´r); (6.10)

 

D = [(di/dt) + (dj/dt) + (dk/dt) ] = [(ωе´i) + (ωе´j) + (ωе´k) ] =

 

= ωе´ ( i + j + k) ωе´ vr. (6.11)

 

Выясним смысл слагаемых, входящих в (6.7). Пусть тело неподвижно, а точка М движется по нему. Тогда абсолютное движение совпадает с относительным, векторы ρO, i, j и k остаются постоянными по величине и по направлению, и из формулы (6.7) мы получим:

 

ar = B = ( i + j + k). (6.12)

 

Пусть наоборот – точка не перемещается по телу, но движется вместе с ним. Тогда абсолютное движение совпадает с переносным, x, y, z = const и из (6.7) следует, что

 

ae = A + C d2ρO /dt2 + (εе´r) + ωе´ (ωе´ r) = a + aεO´M + aωO´M, (6.13)

 

поскольку aO´ = aO , а выражения (4.10) и (4.11) для вращательного и центростремительного ускорений, входящие в (5.3), не зависят от выбора центра О на оси вращения.

Подставляя (6.11)–(6.13) в (6.7), мы и получим формулу (6.5). Теорема доказана.



 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 224 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Определение радиуса кривизны траектории | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении | Скорости и ускорения точек тела в виде векторных произведений | Разложении плоского движения на поступательное и вращательное | Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры | Частные случаи определения положения МЦС | Примечания |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примечания| Кинематика и динамика жидкостей

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.009 сек.)