Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Скорости и ускорения точек тела в виде векторных произведений

Читайте также:
  1. II. Технология подготовки журналистских произведений
  2. II. Технология подготовки публицистических произведений
  3. V. Активизация важнейших биологически-активных точек касанием пальцев
  4. V. Массаж биологически активных точек
  5. Абсолютного ускорения точки
  6. АЛЕНЬКИЙ ЦВЕТОЧЕК
  7. Асчет ходовой скорости движениЯ грузовых и пассажирских поездов

 

1. Векторы ω и ε.Подобно тому, как в статике наряду с моментом силы мы рассматривали ее вектор-момент, введем понятие векторов угловой скорости и углового ускорения.

Определение. Вектором угловой скорости ωназываетсявектор, который:

– действует по прямой, совпадающей с осью вращения;

– направлен по правилу правого винта;

– равен по модулю угловой скорости тела ω.

 

Определение. Вектором углового ускорения ε называется вектор, который:

– действует по прямой, совпадающей с осью вращения;

– направлен по правилу правого винта;

– равен по модулю угловому ускорению тела ε.

В соответствии с этими определениями

 

ε= dω/dt. (4.8)

 

При ускоренном вращении тела ε↑↑ω , при замедленном – ε↑ω.

2. Скорость точки вращающегося тела. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω вокруг оси Oz, где центр O выбран произвольно.

Построим вектор ω и проведем радиус-вектор r точки M, находящейся на расстоянии R от оси вращения (рис.4.3).

 

 

Теорема. Скорость точки M твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz равна векторному произведению вектора угловой скорости и радиус-вектора этой точки, проведенного из произвольного центра O этой оси:

 

v = ω´r.(4.9)

 

Доказательство. Отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов ωи r будетколлинеарным вектору v. Чтобы убедиться в этом, достаточно отложить эти векторы от одной точки. Как видим, векторы ω,r и v образуют правую тройку векторов, и (ω´r) ↑↑ v.

Во-вторых, модуль векторного произведения этих векторов будет равен:

 

| ω r |= |ω |×| r |× sin (ω, r ) = ω×R v = | v |.

 

Теорема доказана.

 

3. Ускорение точки вращающегося тела. Пусть тело ускоренно вращается в положительном направлении вокруг оси Oz, то есть ε↑↑ω(рис.4.)

Докажем, что вращательное ускорение точки этого тела aε равно векторному произведению векторов εи r, а центростремительное aω – векторному произведениюωи v:

 

aε = ε´r; (4.10)

aω = ω´ v. (4.11)

 

Действительно, с учетом формул (2.4), (4.9) и (2.3) получим:

 

a = dv/dt = d/dt (ω´r) = (dω/dtr + ω´(dr/dt) = (ε´r)+ (ω´ v). (4.12)

 

При этом первое слагаемое в (4.12) по направлению совпадает с вектором aε и равно ему по модулю:

|ε´r| = |ε|·|r|·sin(ε, r) = aε,

 

откуда следует (4.10).

Второе слагаемое (ω´ v)↑↑ aω, а |ω´v| = |ω|·|v|·sin(ω, v) = ω·v ω2R =aω,

откуда следует (4.11).

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 219 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Скорость и ускорение при векторном способе задания движения | Скорость и ускорение при координатном способе задания движения | Естественные оси координат | Кривизна кривой | Скорость точки при естественном способе задания движения | Уравнения равнопеременного движение точки | Определение радиуса кривизны траектории | Примечания | ГЛАВА 3. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА | ГЛАВА 4. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скорости и ускорения точек тела во вращательном движении| Разложении плоского движения на поступательное и вращательное

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.005 сек.)