Российский гocудapcтвенный союз объединений, 5 страница

6.2. Совместное действие кручения, изгиба и растяжения (сжатия)

Если кроме изгиба и кручения вал испытывает растяжение (сжа­тие), то вначале по формулам (6.1) и (6.3) определяют диаметр ва­ла, округляют его до ближайшего большего стандартного значения, затем проверяют условие прочности по формуле:

G_экв = (6.4)

где G =

τ =

В формулах (6.5) и (6.6):

N - продольная сила;

A - площадь поперечного сечения вала, исходя из принятого его диаметра.

W_x = , где d - принятый диаметр вата.

Если условие (6.4) не выполняется, диаметр зала увеличивают, затем опять проверяют.

Пример 6.1. Определить диаметр d₂ ведомого вала зубчатой передачи (рис. 6. 1,а), если известно, что при вращающем моменте на ведомом валу М₂ = 850 Н∙м сила в зацеплении F₂ = 5600 H, α = 100 мм. Допускаемое напряжение для материала вала = 50 МПа.

Решение. Наибольший изгибающий момент в сечении (pис. 6.1,в)

М_у = F₂ = 5600 = 280 Н∙м

Эквивалентный момент находим по формуле (6.1)

М_экв = = 787,6 Н∙м

Используя формулу (6.3), находим диаметр вала в наиболее опасном сечении

d = 0,0543 м = 54,3 мм

Округляя до ближайшего большего стандартного значения, принимаем d = 55 мм.

Пример 6.2. Определить диаметр главного вала швейной машины с зубчатой ременной передачей, изготовленного из стали 12 A с допускаемым напряжением 150 МПа.

Рис. 6.1

Все силы, моменты сил и линейные размеры показаны на рис. 6.2,а.

Решение. 1. Строим эпюру изги­бающих моментов (рис. 6.2,б) от вертикальных сил. Находим = 100∙0,05 = 5 Н∙м

2. Строим эпюру изгибающих мо­ментов от горизонтальных сил (рис. 6.2,в). Находим

3. Строим эпюру крутящих мо­ментов (рис. 6.2,г)

6

4. Определяем эквивалентный момент в опасном сечении С

М_экв = = = 8,8

По формуле (6.3) находим диаметр вала

d = = 8,44 ∙10^-3 м = 8,44 мм

Округляем до 10 мм. d = 10 мм.

Рис. 6.2

Пример 6.3. Проверить (по третьей и четвертой гипотезам прочности) прочность сплошно­го бруса круглого сечения (рис. 6.3).

Брус защемлен левым концом, а к правому концу приложены сила F = 500 кН ∙ м и скручиваю­щий момент М = 90 кН∙м. Диа­метр бруса d = 20 см, а допускаемое напряжение = 120 МПа.

Решение. Во всех поперечных сечениях бруса возникают одина­ковые внутренние усилия:

N = f = 500 кН, и М_к = М = 90 кH∙м.

Определяем нормальные и касательные напряжения в опасных точках бруса (в данном случае опасными являются все точки, лежа­щие на контуре любого поперечного сечения рассматриваемого бруса):

G = = 15,9 МПа

τ = = 57,3 МПа

По третьей гипотезе прочности

G_экв = = 115,7 МПа < = 120 МПа

По четвертой гипотезе прочности

G_экв = = 100,5 МПа < = 120 МПа

Таким образом, получается, что, если исходить из третьей ги­потезы прочности, брус недогружен на 3,6 %, а если по четвертой, - на 16,2 %.

Пример 6.4. Вал круглого оплошного сечения (рис. 6.4,a) де­лает п = 667 и передает мощность Р = 1 кВт.

Определить необходимый диаметр вала по четвертой гипотезе
прочности при = 80 МПа. Известно: ℓ₁ = 0,1 м, ℓ₂ = 0,2 м, ℓ₃ = 0,05 м и
D₁ = 0,3 м, D₂ = 0,15 м, F₁ = 2 F₂, F'₁ = 2 F'₂, α₁ = 60⁰, α₂ = 45⁰.

Решение. Определим моменты передаваемые каждым из шкивов на вал:

М = = 14,3 Н∙м

Эпюра крутящих моментов, возникающих в сечениях вала, пока­зана на рис. 6.4,б.

Определяем усилия F₁, F₂, F'₁ и F'₂, действующие на шкивы.

Шкив 1: М = (F₁ - F₂) (2F₂ - F₂) = F₂ ;

F₂ = = 95,3 Н;

F₁ = 2F₂ = 2∙95,3 = 190,6 Н.

Шкив 2: М = (F'₁ - F'₂)

= = 190,6 Н;

= 2F'₂ = 2∙190,6 = 381,2 Н.

Определяем вертикальные и горизонтальные составляющие наг­рузки, действующие со стороны шкивов на вал:

F_y = (F₁ + F₂) sin α₁ = (190,6 + 95,3) sin 60⁰ = 247,3 Н;

F_х = (F₁ + F₂) соs α₁ = (190,6 + 95,3) соs 60⁰ = 142,8 Н;

F'_y = (F'₁ + F'₂) sin α₂ = (381,2 + 190,6) sin 45⁰ = 404,3 Н;

F'_х = (F'₁ + F'₂) соs α₂ = (381,2 + 190,6) соs 45⁰ = 404,3 Н;

Силы, действующие в вертикальной плоскости, показаны из рис. 6.4,в; в горизонтальной плоскости - на рис. 6.4,г.

Определив реакции в опорах в вертикальной и горизонтальной плоскостях, строим эпюры (рис. 6.4,д и е) изгибающих моментов и М_х (см. практическое занятие 3).

Затем, геометрически слагая изгибающие моменты М_х и М_y, находим

М_u =

и строим эпюру М_u (рис. 6.4,ж).

Опасным сечением вала является опорное сечение В, так как в нем одновременно действуют наибольший изгибающий момент М_u = 29,3 Н∙м и крутящий момент М_к = 14,3 Н∙м.

Определяем эквивaлeнтный момент по формуле (6.1)

М_экв = = 31,8 Н∙м

по формуле (6.3) находим диаметр вала

d = 0,0159 м = 15,9 мм

Принимаем диаметр вала равным d = 16 мм.

Пример 6.5. Определить диаметр главного вала швейной машины (рис. 6.5,а), изготовленного из стали А 12 с = 200 МПа.

Виды и значения нагрузок, а также все размеры указаны на рис. 6.5,а.

Решение. Определяем реакции в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 6.5,б,в) (см. практическое занятие 3). Строим эпюры М_х и M_у изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 6.5,г,д) (см. практическое занятие 3). Строим суммарную эпюру М_u изгибающего момента М_u = (рис. 6.5,е).

Строим эпюры продольных сил (рис. 6,5,ж) (см. практическое занятие 2) и эпюру крутящего момента (рис. 6.5,з) (см. практичес­кое занятие 5).

Из эпюр видно, что опасным сечением вала является опорное сечение В, так как в нем одновременно наибольший изгибающий мо­мент М_u = 30 Н∙м наибольший крутящий момент М_к = 10 Н∙м и продоль­ная сила N = 50 H.

Исходя из совместного действия изгибающего и крутящего мо­ментов по четвертой гипотезе прочности, находим по формуле (6.1) эквивалентный момент

М_экв = = 30,9 Н∙м

Рис. 6.4

по формуле (6.3)

d = 0,0116 м = 11,6 мм

Принимаем диаметр вала d = 12 мм.

Так как в сечениях вала имеет место продольная сила, проверим вал на прочность с учетом продольной силы по формуле (6.4), используя (6.5) и (6.6)

G = G_p +G_u = = 176,4 МПа;

τ = = 29,5 МПа;

G_экв =

Принятый диаметр вала равный 20 мм удовлетворяет условно прочности с учетом продольной силы.

Рис. 6.5

6.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.1. Определить диаметр опасного сечения про­межуточного вала цилиндри­ческого косозубого редук­тора. Вал изготовлен из стали с пределом текучес­ти G_т = 340 MПa; требуе­мый коэффициент запаса прочности = 2,5. При расчете в качестве рабо­чей гипотезы взять чет­вертую (энергетическую). Влиянием продольных и поперечных сил пренебречь. Вида и значения нагрузок, а также размеры указаны на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Задача 6.2. Определить по четвертой гипотезе прочности коэффициент запаса по отношению к пределу текучести для опасного сечения вала (рис. 6,7) постоянного по всей длине диаметра d = 65 мм; материал ва­ла - сталь 45 c. G_т = 300 МПа.

Значения сил, их направ­ление и точки приложения показаны на рис. 6.7.

Рис. 6.7

Задача 6.3. Вал с кривошипом подвергается действию силы F= 3,5 кН.

Рис. 6.8

Определить диаметр зала d по третьей гипотезе прочности при = 160 МПа, ℓ = 50 см, α = 10 см (рис. 6.8).

Рис. 6.9

Задача 6.4. Стойка (рис. 6.9) диаметра d = 4 см и длины ℓ = 80cm подвергается действию горизонтальной силы F = 1 кН, приложенной на расстоянии е = 30 см от её оси. Проверить прочность в опасном сечении стойки. Принять = 160 МПа.

Задача 6.5. Вал круглого сечения скручивается моментом М_к = 1,2 кН∙м и изгибается моментом M_u = 0,9 кН∙м. Определить диаметр вала d по III и IV гипотезам прочности. Принять = 100 МПа.

Задача 6.6. На вал (рис. 6.10) на­сажены два колеса диаметра D₁ = 20 см и D₂ = 50 см, на которые дейст­вуют вертикальные силы F₁ = 5 кН и F₂ = 2 кН, как показано на рисунке. Определить диаметр вала по третьей гипотезе прочнос­ти. Принять = 100 МПа, α = 120 см.

Задача 6.7. Нa вал (рис. 6.11) диаметра d= 2,5 см насажены два шкива, диаметры которых D₁ = 30 см и D₂ = 15 см. Усилия при­водов F1 и F₂ направлены соответственно вертикально и горизонтально.

Определить по четвертой гипотезе прочности наибольший до­пустимый крутящий момент на валу при = 100 МПа, ℓ = 60cm, α = 15 см.

Рис. 6.10

Задача 6.8. Определить по третьей гипотезе прочности необхо­димый диаметр вала, если в опасном сечении действуют изгибающий момент M_u = 0,6 кН∙м, крутящий момент М_к = 0,2 кН∙м и продольная растягивающая сила N = 19 кН. Допускаемое напряжение = 60 МПа.

Рис. 6.11

Задача 6.9. Трубчатый вал дви­гателя передает мощность Р = 221 кВт при частоте вращения n= 105 c^-1. Тяговое усилие F= 100 к∙Н. Опреде­лить диаметр вала d по четвертой гипотезе прочности при = 160 МПа. Отношение внутреннего диаметра к внешнему равно 0.6.

6.4. Вопроса для самопроверки

1. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе и кручении?

2. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе и кручении?

3. Как находится приведенный момент (по III и IV гипотезам
прочности) при изгибе с кручением бруса круглого сечения?

4. Сак ведется расчет на прочность бруса круглого сечения при кручении о растяжением (сжатием)?

5. Как рассчитывается на прочность вал при изгибе с кручением и растяжением (сжатием)?

Библиографический список

1. Дарков А. В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов: Учеб. Для техн. вузов - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк, 1989. - 624 с.

2. Иосипевич Г. В., Строганов Г. Б., Маспов Г. С. Прикладная механика: Учеб. для вузов/ Под ред. Г. В. Иосилевича - М.: Высш. шк., I989. - 351 с.

3. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под ред. А. С. Воль-
мира. - М.: Наука, Главная редакция физ.- мат.лит., 1984. - 408 с.

4. Степин П. A. Сопротивление материаиов: Учеб. для немаш. спец.
вузов. - 8-е изд. - М.: Высш. шк., 1986. - 367 с.

5. Фесйк С.П. Справочник по сопротивлению материалов. Киев "Будивельник", 1983. - 308 с.

Иванов Сергей Гаврилович

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Практикум (раздел сопротивление материалов)

для cтvдeнтoв специальности 28.08

(сборник)

Редактор Т. М. Капанина

Рабоч. прогр. № 2.2.1. - 2.2.6

Свод. тем. пл. № 1

Подписано в печать 02.06.95. Формат 60х84 I/I6.

Бумага тип № 2. Оперативная печать.

Усл. печ. л.4.42. Уч.-изд. л. 4.22. Тираж 150 экз.

Заказ № 598 Цена договорная. № 35.

Редакционно-издательская группа ОмТИ

Лаборатория множительной техники ОмТИ

644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9

Дата добавления: 2015-11-04