Российский гocудapcтвенный союз объединений, 1 страница

Российский гocудapcтвенный союз объединений,

предприятий и организаций бытового обслуживания населения

Омский технологический институт бытового обслуживания

Кафедра общеинженерных дисциплин

С. Г. Иванов

Практикум (раздел сопротивление материалов)

для студентов специальности 28.08

Сборник

Омск 1995

Прикладная механика:

Практикум (раздел сопротивле­ние материалов) для студентов специальности 28.08 (сборник) / С. Г. Иванов. - Омский технологи­ческий институт ботового обслу­живания, 1995. - 75 с.

В сборнике представлены расчетно-справочные сведения, необходимые при расчете конструкций на прочность и жесткость при рас­тяжении (сжатии), изгибе, сдвиге, кручении и сложном сопротивле­нии; приведены методические указания и примеры решения задач указанных видов деформаций, задачи для самостоятельного решения и вопросы для самопроверки.

Содержание и сложность задач соответствуют программе по прикладной механике, утвержденной Учебно-методическим управлени­ем по высшему образованию 01.08.89 г. и рабочей программе, ут­вержденной деканом художественно-технологического факультета ОмТИ в 1994 г. предназначены дня студентов специальности 28.08.

Библиогр.: 5 назв. Рис. 60

Рецензент З. Н. Соколовский зав. кафедрой Сопротивления материалов ОГТУ

Ответственный за выпуск зав. кафедрой ОИД

Рекомендовано заседанием кафедры

Протокол № 8 от 21.03.95 г.

Утверждено научно-методическим

советом специальности 28.08

Протокол № 5 от 31.03.1995 г.

Омский технологический институт бытового обслуживания, 1995

СОДЕРЖАНИЕ

I. Практическое занятие I

Геометрические характеристики плоских сечений ………………………5
1.1. Статические моменты. Определение положения центра тяжести

плоских сечений (фигур) …………………………………………………...………….5

1.1.1. Центр тяжести сложного сечения………………………………………8

1.1.2. Задачи для самостоятельного решения ………………………………10

1.2. Моменты инерции…………………………………………………………...12

1.2.1. Главные оси и главные моменты инерции……………………………13

1.2.2. Вычисление моментов инерции сложных сечений…………………..16

1.2.3. Задачи для самостоятельного решения…………………………….…17

1.3. Вопросы для самопроверки……………………………………………..…17
2. Практическое занятие 2

Определение внутренних усилий, напряжений, перемещений и деформаций при растяжении (сжатии). Расчет на прочность и жесткость……………………….19

2.1. Продольные силы …………………………………………………………...20

2.2. Напряжение, перемещения к деформации………………………………....21

2.3. Потенциальная энергия деформации ……………………………………...24

2.4. Пластичность материала …..………………………………………… ……25

2.5. Расчет на прочность…………………………………………………………26

2.6. Задачи для самостоятельного решения………………………………….…29

2.7. Вопросы для самоконтроля…………………………………………………32

3. Практическое занятие 3

Изгиб. Определение внутренних силовых факторов………………………..…32

3.1. Основные понятия и определения …………………………………………33

3.2. Внутренние силовые факторы ….………………………….………..…….33

3.2.1. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил……34

3.2.2. Построение эпюр изгибающих моментов и

поперечных сил ……………………………………………………………………….35

3.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………………………43

3.4. Вопросы для самопроверки…………………………………………………46

4. Практическое занятие 4

Изгиб. Расчет на прочность……………………………………………………..47

4.1. Чистый изгиб. Нормальные напряжения при изгибе……………………..47

4.2. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе ………………48

4.3. Расчеты на прочность ……………………………………………..………..49

4.4. Задачи дня самостоятельного решения ……………………………………53

4.5. Вопросы для самопроверки ……………..………………………………….54

5. Практическое занятие 5

Сдвиг и кручение. Расчеты на прочность………………………………………54

5.1. Сдвиг.......................................... …………………………………….…….55

5.2. Кручение............................................. ……………………………….…...57

5.2.1. Крутящий момент………………………………..……………….…….57

5.2.2. Расчеты на прочность и жесткость …………………………….……..57

5.3. Задачи для самостоятельного решения…………………………….………63

5.4. Вопросы для самопроверки………………………………………………65
6. Практическое занятие 6

Сложное сопротивление. Совместное действие кручения и изгиба…………67

6.1. Совместное действие кручения и изгиба …………………………..…….67

6.2. Совместное действие кручения, изгиба и растяжения (сжатия)…………68

6.3. Задачи для самостоятельного решения ………….………………………76

6.4. Вопросы для самопроверки ……………………………………………….80

Библиографический список ……………………………………………………….…81

I. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

Геометрические характеристики плоских сечений

Цель - закрепление знаний о геометрических характеристиках плоских сечений и практическое их применение для определения положений центра тяжести, осевых, полярных и центробежных моментов инерции простых и сложных сечений.

1.1. Статические моменты.

Определение положения центра тяжести плоских сечений (фигур)

Рис. 1.1

Выражения (1.1)

называются статическими моментами сечения (фигуры) относительно осей соответственно у и х и измеряются в см³, м³.

Координаты центра тяжести сечения фигуры по отношению к произвольно выбранным осям х и у определяются по формулам:

(1.2)

где А - площадь сечения (Фигуры).

Оси Х_с, У_c проходящие через центр тяжести сечения, называют­ся центральными. Оси симметрии сечения - центральные. Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

Пример I.I. Определить ординату центра тяжести сечения, имеющего форму треугольника АВС (рис.1.2).

Рис. 1.2

Решение. Совместим начало коор­динат с т. А, а ось X - с ос­нованием АС.

Выделим на расстоянии у от оси X элементарную площадку dA = b_y ∙ dy, где отрезок b_y = b (из подобия треугольников).

Тогда dA =

Представив значение dA в формулу (1.1), получим

(1.3)

По формуле (1.2) находим

(1.4)

т.е., центр тяжести сечения (фигуры), имеющего форму треугольника, делит его высоту в пропорции 1:2.

Пример 1.2. Определить абсциссу центра тяжести площади сечения, ограниченной прямолинейными отрезками b, h и параболой у = ах² (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Решение. Выделим элемент площади сечения dA = ydx, тогда площадь сечения

Статический момент площади А относительно оси у определяем по формуле (1.1)

Используя формулу (1.2), находим

(1.5)

Пример 1.3. Определить центр тяжести площади сечения, имеющего фигуру полукруга с радиусом R (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Решение. Используем выражение (1.1)

Из рис. 1.4 видно, что

dA = R cos dy

y = R sin

dy = R cos d

Представляя значения dA, у и dy в исходную формулу, получим

По формуле (1.2) находим

(1.6)

I.I.I. Центр тяжести сложного сечения

Центр тяжести сложного сечения определяется по формуле (1.2), где в числителе - статический момент сложного сечения, в знаменателе - его площадь.

Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же ОСИ. Он определяется в следующем порядке;

1. Сложное сечение разбивается на части, имеющие вид простых фигур
(прямоугольники, треугольники, полуокружности и т.д.).

2. Определяются площади и положения центров тяжести каждой фигуры
относительно осей выбранной системы координат.

3. По формулам

Sⁱ_x= A_i∙ Уⁱ_c

Sⁱ_y= A_i∙ Хⁱ_c

вычисляют статические моменты каждой фигуры относительно осей X и У.

4. Алгебраическим суммированием (статистические моменты фигур, являющиеся отверстием, берутся со знаком минус) определяются статистические моменты

S_x = S_у =

5. Находится общая площадь (площади отверстия вычитаются)

6. По формулам (1.2) определяются координаты центра тяжести всего сечения.

Пример 1.4. Определить центр тяжести сечения, показанного на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Решение. Разбиваем фигуру сечения на две части: прямоугольник площадью А₁ = 3а∙а = 3 а³ и квадрат площадью А₂ = а².

Координаты их центров тяжести в выбранной системе координат соответственно равны: х_с1 = 0,5 а, у_с1 = 1,5 а.

х_с2 = 1,5 а, у_с2 = 0,5 а.

Находим статические моменты:

S_1x = A₁∙Y_c1 = 3a²∙1,5а = 4,5 а³

S_1у = A₁∙Х_c1 = 3a²∙0,5а = 1,5 а³

S_2x = A₂∙Y_c2 = a²∙0,5а = 0,5 а³

S_2у = A₂∙Х_c2 = a²∙1,5а = 1,5 а³

По Формулам (1.2) определяем координаты центра тяжести сечения.

= 0,75 а

= 1,25 а

Примечание. Центр тяжести сложного сечения, разбиваемого на n простых фигур, находится внутри n-угольника, образуемого центрами тяжести простых фигур. В случае n = 2 центр тяжести лежит на пря­мой, соединяющей центры тяжести простых фигур.

Пример 1.5. Определить центр тяжести сечения, показанного на рис.1.6.

о

со

Рис.1.6

Решение. Так как фигура симметрична относительно оси у, то центр тяжести будет лежать на оси у с ординатой

Здесь

A₁= 60∙80 = 4800 мм²=4,8∙10^-3м³

A₂=30∙20 = 600мм²=0,6∙10^-3м³

S_1x - статический момент большего прямоугольника относительно оси X равен нулю (ось Х - ось симметрии),

S_2x = А₂∙У_с2=0,6∙10^-3∙0,015 =9∙10^-6м³

Ордината центра тяжести

У_с =

1.1.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.1. Для одного из сечений, показанных на рмс.1.7, 1.8, 1.9 определить положение его центра тяжести, учитывая симметрию сечения.

Рис. 1.9

Задача 1.2. Для одного из сечений, показанных на рис.1.10, определить положение его центра тяжести.

Рис. 1.10

1.2. Моменты инерции

Рис. 1.11

Осевыми моментами площади сече­ния называются выражения сле­дующего вида

(1.8)

Интеграл вида

(1.9)

называется центробежным момен­том инерции площади сечения от­носительно осей X и У.

Интеграл вида

J_p = (1.10)

называется полярным моментом инерции площади сечения.

Осевые и полярный моменты инерции связаны зависимостью

J_p = J_x+J_y (1.11)

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительные. Центробежный момент инерции может быть больше, меньше или равен нулю. Моменты инерции измеряются в см⁴,м⁴.

При параллельном переносе осей координат (рис. 1.11).

J_y = + A∙a²

J_x = + A∙b²

J_xy = + A∙a∙b

J_p = (1.12)

где , - соответствующие моменты инерции относительно центральных осей (начало координат в центре тяжести площади сечения), параллельных осям X и У; а и b - расстояние между осями у и у_с, х и х_с; с₀ - расстояние между началом координат системы Х_с О У_с.

I.2.I. Главные оси и главные моменты инерции

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центро­бежный момент площади сечения равен нулю, называются главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей называются глав­ными моментами инерции.

Если же эти оси к тому же является центральными, то моменты инерции относительно них называются главными центральными.

Главные моменты инерции имеют экстремальные значения: один из них - максимальный J_max, другой - минимальный J_min и определя­ются по формуле

(1.13)

где J_х, J_у и J_ху - осевые и центробежный моменты инерции относительно произвольно взятых осей х и у.

Знак «плюс» принимается при вычислении J_max, "минус" - при вычислении J_min.

При повороте осей на угол

J_y1 = J_ycos² + J_xsin² -

(1.14)

Существует зависимость

J_max+ J_min = J_x + J_y = const (1.15)

Положение главных осей относительно произвольно взятых, опре­деляется углом :

(1.16)

Пример 1.6. Определить осевые моменты сечения прямоугольной формы

(рис.1.12) относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения С.

Рис. 1.12

Решение. Выделим элемент площа­ди dA = b∙dy на расстоянии у от оси X.

Тогда

Аналогично находим

Таким образом

(1.17)

Пример 1.7. Определить полярный и осевые моменты инерции кру­га радиуса R относительно его центра и центральных осей (рис. 1.13).

Решение. Выделим из круга элементарное кольцо толщиной dp, радиусом ρ и площадью dA = 2 ∙ dp

Рис.1.13

Полярный момент инерции элемен­тарного кольца относительно центра круга О dJ_p = ρ²dAd

Подставляя значение dA интег­рируя, получим

(1.18)

Так как для круга J_х = J_у и J_x + J_y = J_p, то

J_х = J_у = (1.19)

Пример 1.8. Определить осевые моменты инерции J_х и сечения треугольной формы (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Решение. Выделим элементарную площадку с ординатой у и пло­щадью dA = by∙dy. Из рис 1.14 видно, что

(1.20)

Используя выражение (1.20), на­ходим

Из (1.21) находим

(1.21)

1.2.2. Вычисление моментов инерции сложных сечений

Моменты инерции сложной фигуры равны алгебраической (в случае отверстия момент инерции его сечения принимается отрицательные) сумме моментов инерции её составных частей.

Поэтому, для вычисления моментов инерции сложное сечение раз­бивается на ряд простых частей (фигур) с таким расчетом, чтобы их геометрические характеристики можно было вычислить по известным формулам или найти по специальным справочным таблицам.

После разбивки сложного сечения на простые части для каждой из них выбирается система координат, как правило, центральная, т.е. её начало совпадает с центром тяжести этой фигуры.

Вычисляют площади каждой простой фигуры, её осевые и центро­бежные моменты инерции относительно центральных осей, затем, ис­пользуя формулу (1.12), находят моменты инерции всей фигуры

J_x ⁼ J_1x + J_2x+ … + J_nx

J_y ⁼ J_1y + J_2y+ … + J_ny (1.22)

J_xy ⁼ J_1xy + J_2xy+ … + J_nxy

Пример 1.9. Вычислить моменты инерции относительно оси симметрии сечения (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Решение. Моменты инерции сечения, показанного на рис. 1.15, равны разности моментов инерции

=

1.2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.3. Для сечения, показанных на рис.1.16, определить моменты инерции относительно осей симметрии.

Задача 1.4. Для сечений, показанных на рнс.1.9, определить моменты инерции J_хс и J_yс относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения. Ось Y_c является осью симметрии, а ось X_c ей перпендикулярна.

Задача 1.5. Для сечений, показанных на рис. I.I0, определить момент инерции J_х относительно оси Х.

1.3. Вопросы для самопроверки

2. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?

3. В каких единицах выражается статический момент сечения?

4. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения?

5. Какие оси называются центральными?

6. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечений?

7. Что называется осевым, полярным и центробежным моментом инерции сечения?

8. В каких единицах выражаются моменты инерции сечения?

9. Чему равна сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

9. Какая существует связь между осевым к полярным моментами инерции сечения?

10. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно центральных осей, относительно осей, параллельных его сторонам?

11. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относитель­но их центров?

12. Если в плоскости сечения проведен ряд параллельных осей, отно­сительно какой из них осевой момент инерции имеет наименьшее значе­ние'?

13. Что представляют собой главные и главные центральные моменты инерции*?

14. Какие оси называются главными осями инерции?

15. Какие оси называются главными центральными осями инерции?

16.Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей инерции?

17. В какой последовательности определяются значения главных цент­ральных моментов инерций сложного сечение?

Рис. 1.16

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2

Определение внутренних усилий, напряжений, перемещений и деформаций при растяжении (сжатии). Расчет на прочность и жесткость

Цель - закрепление знаний о деформации растяжения (сжатия), развитие способности и приобретение навыков самостоятельно исполь­зовать эти знания при решении задач, связанных с определением продольных сил и построением их эпюр, напряжений, деформаций, переме­щений, а также с расчетом на прочность и жесткость.

2.1. Продольные силы

Продольная сила N в данном случае равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, на ось стерж­ня (на нормаль к её сечению).

Продольная сила, вызывающая напряжение, направленная от сече­ния, считается положительной, а направленная к сечению - (сжатие) отрицательной.

В том случае, когда направление продольной силы заранее неиз­вестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия продольная сила получается со знаком плюс, стержень испытывает растяже­ние, со знаком минус - сжатие.

Наглядное представление о распределении продольных сил по дли не стержня дает эпюра N - график, каждая ордината которого в масш­табе равна значению продольной силы в данном сечении.

г)

Рис. 2.1

Пример 2.1. Построить эпюру N для стержня круглого сечения, показанного на рис. 2.1,a.

Решение. Разбиваем стержень на участки, определяемые точками А, В, С и D приложения сил. Пользуясь методом сечений, определим N на участках.

Для сечения I-I (рис. 2.1,б) N₁ = F₁ = 10 кН (растяжение).

Для сечения II-II (рис. 2.1,в) N₂ = F₁+ F₂= 10 + 5= 15 кН (растяжение).

Для сечения III-III (рис. 2.1,г) N₃ = F₁+ F₂ – F₃ = 10 + 5 – 20 = 5 кН (сжатие).

Для сечения 1V-1V (рис. 2.1,д)

N₃ = F₁+ F₂ – F₃ + F₄ = 10 + 5 – 20 + 25 = 20 кН (растяжение).

По полученным данным строим эпюру N продольных сил (рис. 2.1,е).

2.2. Напряжения, перемещения и деформации

При растяжении и сжатии считают, что нормальные напряжения распределяются равномерно по поперечному сечению стержня, т.е. при­нимается, что G = const. Поэтому

N = GA, G = (2.1)

где А - площадь поперечного сечения стержня, м².

Изменение длины стержня при растяжении (сжатии) в пределах закона Гука

G = (2.2)

определяют по формуле

(2.3)

где Е - модуль линейной упругости. Па; МПа. (Для сталей в сред­нем Е = 2,1∙ 10⁵ МПа).

Δℓ = ℓ-ℓ₀ - абсолютное удлинение стержня, м.

ε - относительное продольное удлинение (деформация)

(2.4)

Дата добавления: 2015-11-04