Российский гocудapcтвенный союз объединений, 4 страница

Наибольшие касательные напряжения, действующие в этом попе-
речном сечении, определим по формуле (4.10) для прямоугольного
сечения

= 0,83 мПа

Так как = 0,83 мПа < [τ] = 12 мПа, то принятые размеры бал­ки удовлетворяют и по касательным напряжениям.

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.1. Временные деревянные настилы рассчитываются на сосредоточенный груз F = I кН (рабочий с инструментом). Какой про­лет можно допустить для доски настила сечением 2,5 х 20 см, ес­ли допускаемое напряжение [G] = 15 МПа.

Задача 4.2. Вычислить наибольшее нормальное напряжение в шарнирно опертой балке пролетом ℓ = 2 м, нагруженной по середине си­лой F =15 kН. Валка изготовлена из прокатного двутавра № 12.

Задача 4.3. Подобрать номер двутавра для балки предыдущей задачи при [G] = 160 МПа.

Задача 4.4. Определить максимальное нормальное напряжение в круглой трубе с внешним диаметром D = 5 см и внутренним d = 4см при изгибащем моменте М_х = 1,5 кН∙м.

Задача 4.5. Определить наибольшие касательные и нормальные напряжения в шарнирно опертой балке пролетом ℓ = 1,5 м прямоу­гольного сечения h x b = 6 x 4 см нагруженной в середине пролета сос­редоточенным моментом М = 7,2 кН∙м.

Задача 4.6. Подобрать номер двутавровой балки по сортамету стального проката. Дано: изгибающий момент М_х = 10 кНм, допус­каемое напряжение [G] = 150 мПа.

Задача 4.7. Определить допускаемые изгибающие моменты для прокатного стального двутавра № 12 в обеих главных плоскостях салки при [G] = 160 МПа.

Задача 4.8. Подобрать квадратное сечение консоли дли­ной I м, нагруженной силой F = 1 кН на конце, при допускаемом нап­ряжении [G] = 12 МПа.

Задача 4.9. Используя результаты решения задачи 3.1, подоб­рать необходимые размер поперечных сечений балок, имеющих фор­му: квадрата со стороной α; прямоугольника с h/b =2; круга с диа­метром d, двутавра; короба, состоящего из двух швеллеров. До­пускаемое напряжение [G] = 160 МПа.

Задача 4.10. Используя результаты решений задач 3.1 и 4.9, проверить балки на прочность по касательным напряжениям для квадратного, прямоугольного к круглого сечений. Принять [τ] = 0,6 [G].

4.5. Вопросы для самопроверки

1. Как формулируется гипотеза плоских сечений?

2. Что представляет собой нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены?

3. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе?

4. По какой формуле определяются нормальные напряжения в попереч­ном сечении балки при чистом изгибе и как они изменяются по высоте балки?

5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?

6. Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?

7. Какой вид имеет эпюра касательных напряжений в пoпepечныx сечениях прямоугольной и двутавровой формы?

8. Как производится расчет на прочность при прямом изгибе балки из пластичного материала, имеющей постоянное по всей длине попереч­ное сечение.

Напишите зависимости для всех трех видов расчета: провероч­ного, проектного и для расчета на определение допускаемой нагруз­ки.

9. В каких случаях следует производить дополнительную проверну балок на прочность по наибольшим касательным напряжениям, воз­никающим в их поперечных сечениях?

Как производится эта проверка?

10. Как вычисляется потенциальная энергия деформации изгиба?

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5

Сдвиг и кручение. Расчета на прочность

Цепь - закрепление знаний о деформациях сдвига и кручения, развитие способности, приобретение навыков самостоятельного ис­пользования этих знаний и справочной литературы при решении за­дач на определение крутящих моментов и построение их эпюр, при проектном и проверочном расчетах на прочность и жесткость при кручении, а также при расчетах на прочность при сдвиге.

5.1. Сдвиг

Под сдвигом понимают такой вид деформации, когда в поперечных сечениях стержня действуют перерезывающие силы, а остальные силовые факторы отсутствуют.

На сдвиг (срез) рассчитываются некоторые соединительные элементы (заклепки, болты, шпонки, сварные швы и др.).

Условие прочности при срезе имеет вид:

(5.1)

Необходимая площадь среза

A (5.2)

Допустимая нагрузка, вызывающая срез,

[F] = [Q] = [τ_c]∙A (5.3)

в приведенных формулах (5.1) ... 5,3):

Q - поперечная (срезающая) сила;

А - площадь поперечного сечения элемента, подвергающегося срезу,

[τ_c] - допускаемое напряжение при срезе;

для пластичных материалов принимают

[τ_c]= (0,5…0,6) [G_р] (5.4)

для хрупких материалов -

[τ_c]= (0,7…1,0) [G_р]. (5.5)

Относительный сдвиг (угол сдвига) определяется по формуле

ζ = (5.6)

- закон Гука при сдвиге.

Здесь G - модуль сдвига, определяемый по зависимости

G = (5.7)

где V - коэффициент Пуассона.

Пример 5.1. Определить минимальную высоту головки (рис. 5.1.) h болта из условия равнопрочности её со стержнем.

Решение. При малой высоте головки болта происходит её срез по цилиндрической поверхности диаметром d.

Сила F, растягивающая стержень болта, будет перерезывающей для головки

Q = F

Пример, что касательные напряжения постоянны по высоте h головки, тог­да

Рис. 5.1

При этом растягивающие напряжения в стержне болта G =

Откуда, обращая нестрогое равенство в строгое, получим

F =

или, разделив равенство на d², будем иметь .

Принимая для пластичных материалов = 0,5 найдем

Пример 5.2. Определить наибольший вращающий моментов, ко­торый может передать колесо I валу 2 без среза штифта 3 (рис. 5.2)

Решение. Вращающий момент от колеса к валу передается парой сил Q, действующих в сечениях штифта (показаны волнистой лини­ей на рис. 5.2,б):

Q =

Эта сила представляет собой результирующую касательных напряжений в сечении Q = τ А

где А - площадь поперечного сечения штифта.

Условие прочностной надежности штифта приобретает вид

=

М = 0,25 d₁d2

5.2. Кручение

Под кручением понимают такой вид деформации, когда в поперечных сечениях вала действует только крутящий момент, а остальные силовые факторы отсутствуют.

5.2.1. Крутящий момент

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

5.2.2. Расчеты на прочность и жесткость

Условие прочности при кручении имеет вид:

τ_max = (5.8)

где - допускаемое напряжение при кручении,

W_p - полярный момент сопротивления сечения при кручении:

W_p = = 0,2 d² (5.9)

Угол закручивания вала при постоянном на длине ℓ крутящем моменте М_к для вала постоянного сечения

у = (5.10)

для полого вала

у = (5.11)

где J_p – полярный момент инерции (1.18),

α = , (5.12)

здесь d – внутренний диаметр вала,

D – наружный диаметр вала.

Если крутящий момент скачкообразно изменяется по длине вала или вал имеет ступенчатое изменение сечения, то взаимный угол поворота концевых сечений вала определяется алгебраическим суммированием углов закручивания по участкам, на которых М_к и J_р постоянны:

(5.13)

При расчете на жесткость должно выполняться условие

, (5.14)

где - допустимый угол закручивания вала на I м его длины.

Пример 5.3. Ступенчатый стальной брус (вал) круглого поперечного сечения жестко заделан одним концом и нагружен, как показано на рис. 5.3,а. Построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и угол закручивания (поворотов) поперечных сечений.

Решение. Эпюру крутящих моментов строим, начиная от сво­бодного (левого) конца, что позволяет не определять реактивный момент в заделке. Проведя произвольное сечение I-I на участке АВ и составляя для оставленной части (рис. 5.3,б) уравнение равновесия сил

(F) = 0,

получаем

- М = - 1 кН∙м.

Согласно принятому правилу знаков, считаем момент отрицательным. Крутящий момент сохраняет постоянное значение во всех сечениях участка АВ и ВС. Для остальных участков находим крутя­щие моменты как алгебраические суммы внешних моментов, приложен­ных по одну сторону (в нашем случае - по левую) от сечения.

Отсеченные части отдельно не изображаем.

На участке СД = - М₁+М₂ = -1+2 = 1 кН∙м

На участке ДК =

На участке KL - М₁+М₂ – М₃ = - 1+ 2 – 4 = - 3 кН∙м

По найденным значениям крутящих моментов строим эпюру М_к (рис. 5.3,в).

Рис. 5.3

Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касательных напряжений, используя формулы (5.8) и (5.9).

На участке АВ

τ_max = = - 23,6 ∙ 10⁶ Па = - 23,6 МПа

На участке ВС

τ_max = = - 40,7 ∙ 10⁶ Па = - 40,7 МПа

На участке СД

τ_max = = 40,7 ∙ 10⁶ Па = 40,7 МПа

На участке ДК

τ_max = = 9,98 ∙ 10⁶ Па = 9,98 МПа

На участке KL

τ_max = = - 29,8 ∙ 10⁶ Па = - 29,8 МПа

Строим эпюру τ_max (рис. 5.3,г). При этом ординаты опоры откладываются в ту же сторону, что и соответствующие ординаты эпюры М_к. Знак касательного напряжения при расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление ординат эпюры условно.

Опасными оказались поперечные сечения участков ВС и СД. Таким образом, опасными оказались не те сечения, в которых крутя­щий момент максимален.

Условие прочности τ_max ≤ выполняется, т.к.

τ_max = 40,7 МПа < = 60 МПа

Эпюру углов поворота строим, начиная от защемленного (правого) конца. Ордината этой эпюры в выбранном масштабе дают значения углов поворота соответствующих поперечных сечений бруса. В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно вычислить углы поворота только для граничных сечений участков; угол поворота сечения К, равный углу закручивания участка KL

- 3,73 ∙10^-3 рад

где принято для стали G = 8∙10⁴ МПа.

Угол поворота сечения D относительно К, равный углу зак­ручивания участка ДК:

1,24 ∙10^-3 рад

Угол поворота сечения С относительно Д, равный углу закру­чивания участка CД:

8,13 ∙10^-3 рад

Угол поворота сечения В относительно С, равный углу закру­чивания участка ВС:

- 8,13 ∙10^-3 рад

Угол поворота сечения А относительно В, равный углу закру­чивания участка АВ:

- 11,8 ∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения Д (относительно заделки) равен алгебраической сумме углов закручивания участков KL и DK

= (- 3,73 + 1,24) ∙ 10^-3 = - 2,49∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения С:

= (- 2,49 + 8,13) ∙ 10^-3 = 5,64∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения В:

= (5,64 – 8,13) ∙ 10^-3 = - 2,49∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения А:

= (- 2,49 – 11,8) ∙ 10^-3 = - 14,29 ∙10^-3 рад

Эпюра углов поворотов сечений показана на рис. 5.3, д.

Пример 5.4. Определить из расчетов на прочность и жесткость диаметр гладкого вала (рис. 5.4,а). Принять = 25 МПа, = 5,3 ∙10^-3 рад/м.

М₁ = 2 кН∙м

М₂ = 0,95 кН∙м

М₃ = 0,6 кН∙м

М₄ = 0,5 кН∙м

Рис. 5.4

Решение. Построив эпюру изгибающих моментов (рис. 5.4,б), находим расчетный крутящий момент

= M₁ – M₂ = 2 – 0,9 = 1,1 кН∙м

Определяем требуемый по­лярный момент сопротивления сечения вала из рас­чета на прочность (5.8):

W_p 4,4∙10^-5 м³.

Диаметр вала определяем из (5.9)

d = = 6∙10^-2 м = 60 мм

Требуемый полярный момент инерции сечения вала из расчета
на жесткость (5.10)

J_p = 2,59∙10⁶ м⁴.

Диаметр вала из расчета на жесткость (1.I8)

d = = 7,16∙10^-2 м = 71,6 мм

Из двух полученных значений диаметров вала, принимаем большее. Округляя, получаем

d = 72 мм.

Пример 5.5. Два одинаковых вала 1 соединены муфтой 2 со штифта­ми 3 (рис. 5.5). Выяснить, что ограничивает передаваемый момент: прочность валов, муфты или штифтов. Принять для валов - 40 МПа, для муфты = 20 МПа, для штифтов - 100 МПа. При расчете валов и муфт ослабление их отверстиями для штифтов не учитывать.

Рис. 5.5

Решение. 1. Допускаемый момент из условия прочности валов

40∙ 10⁶ ∙0,2∙(0,04)³ = 512 Н∙м

2. Допускаемый момент из ус­ловия прочности муфты

=

3. Допускаемый момент из ус­ловия прочности штифтов.

Штифт работает на срез. Учитывая наличие двух плоскостей среза, получаем из (5.I) следующую формулу:

τ_с =

где F = .

Таким образом, находим

100∙10⁶ = 314

Сравнивая значения моментов, приходим к выводу, что наименее прочными элементами конструкции являются штифты. Для увеличения допускаемого момента можно поставить на каждой половине муфты два штифта, одновременно несколько уменьшив их диаметр. Толщи­ну муфты можно несколько уменьшить, так как она значительно проч­нее вала.

5.3. Задачи дли самостоятельного решения

Задача 5.1. Стальной вал круглого сечения нагружен момента­ми (рис. 5.6) М₁ = М₂ = 1,2 кН∙м. Определить диаметр вала из условий прочности и жесткости, если = 20 МПа, = 0,005 рад/м, G = 8∙10⁴ МПа, ℓ = 0,4 м. Определить наибольший угол закручивания.

Рис. 5.6

Задача 5.2. Брус круглого сечения, изображенный на рис. 5.7, нагружен парами сил,
плоскости действия которых перпендикулярны к его оси. Определить из расчета на
прочность диаметры поперечных сечений участков I, II и III, если М₁ = 4 кН∙м, М₂ = 8 кН∙м, М₃ = 2 кН∙м, Q = 0,4 м, = 60 МПа.

При найденных значениях диаметров построить эпюру углов поворотов поперечных сечений бруса, если G = 8∙10⁶ МПа

Рис. 5.7

Задача 5.3. К Стальному ступенчатому валу, имеющему сложное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис. 5.8). Левый конец вала жестко закреплен в эпюре, а правый конец - свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца.

Требуется: I. Достроить эпюру крутящих моментов по длине вала. 2. При заданном значе­нии допускаемого напряжений на качение определить диаметром d₁ и d₂ из расчета на прочность, полученные значения округлости; 3. Построить эпюру действительных напряжений кручений по длине вала; 4. построить эпюру узлов закручивания, приняв G = 0,4 Е. Данные взять из таблицы вариантов заданий (стр. 63).

5.4. Вопросы для самопроверки

1. Какой случай плоского напряженного состояния называется чистым сдвигом?

2. Что называется абсолютным сдвигом, относительным сдвигом и углом сдвига?

3. Напишите выражение закона Гука при сдвиге.

4. Напишите условие прочности при сдвиге.

5. При каком нагружении прямой брус испытывает деформации кручения?

6. Какое правило знаков принято для крутящих моментов?

7. Что представляют собой эпюры крутящих моментов и как они строятся?

8. Как определяются полный и относительный углы закручивания бруса?

9. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены?

10. Что называется жесткостью сечения при кручении?

11. Что называется полярным моментом сопротивления сечения, в каких единицах он выражается и чему он равен для круга?

12. Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность?

13. Как выбираются допускаемые напряжения при расчетов на кру­чение?

14. Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость?

Рис. 5.8

Таблица

Варианты заданий

	Расстояний, м	Момент, кн ∙м	МПа
а	в	с	М1	М2	М3	М4
	4.0	1.0	1.0	5.1	2.1	I.I	0.1
	1.1	I.I	I.I	5.2	2.2	1.2	0.2
	1.2	1.2	1.2	5.3	2.3	1.3	0.3
	1.3	1.3	1.3	5.4	2.4	1.4	0.4
	1.4	1.4	1.4	5.5	2.5	1.5	0.5
	1.5	1.5	1.5	5.6	2.6	1.6	0.6
	1.6	1.6	1.6	5.7	2.7	1.7	0.7
	1.7	1.7	1.7	5.8	2.8	1.8	0.8
	I.8	1.8	I.8	5.9	2.9	1.9	0.9
	1.9	1.9	1.9	6.0	3.0	2.0	1.0

6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6

Сложное сопротивление. Совместное действие кручения и изгиба

Цепь - закрепление знаний о сложном сопротивлении, совмест­ном действии кручения и изгиба, гипотезах прочности и развития способности использовать эти знания и приобретение навыков самостоятельного проведения проектных и проверочных расчетов на прочность.

Сочетание кручения и изгиба (а иногда и растяжения или сжа­тия) встречается при расчете валов. Например, валы швейных ма­шин (главный, вертикальный, челночный) при передаче вращения с помощью конических колес испытывают все три вида указанных де­формаций. При передаче вращения с помощью зубчатого ремня осевые (продольные) силы отсутствуют.

Наиболее часто в расчетах на прочность валов используется четвертая гипотеза прочности, так как она лучше всего отвечает многочисленным опытам и дает экономическое решение (по сравнению с третьей гипотезой прочности).

6.1. Совместное действие кручения и изгиба

Расчет вала при совместном действии кручения и изгиба ве­дется как при прямом изгибе, но в расчетной формуле (4.12) роль изгибающего момента играет эквивалентный момент, величина которого по 1V гипотезе прочности определяется по формуле:

М_экв = =

где = +

Из (4.12) с учетом (6.1) определяется диаметр вала

d (6.3)

Дата добавления: 2015-11-04