Российский гocудapcтвенный союз объединений, 2 страница

ЕА - жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Для стержня со ступенчатым изменением площади поперечного сече­ния и продольной силы удлинения вычисляются на участках с постоянны­ми А и N и результаты алгебраически суммируются:

(2.5)

где i - номер участка;

n - число участков.

Относительная поперечная деформация вдоль оси, перпендикулярной
оси Z

ε^/ = - v ∙ε; ε = (2.6)

где v - коэффициент Пуассона, коэффициент поперечной деформации;

Δ а - абсолютное изменение поперечного размера сечения;

а - поперечный размер сечения.

Пример 2.2. Используя данные и результаты примера 2.1, опре­делить:

I. Нормальные напряжения в сечениях, построить эпюру нор­мальных напряжений;

Эпюра &l

2. Перемещения сечений, построить эпюру перемещений, если ℓ₁ = ℓ₂ = 0,4 м, ℓ₃ = ℓ₄ = 0,5 м площади сечений А₁ = 2 см², А₂ = 4 см², модуль линейкой упругости

Е = 2,0∙10⁵ МПа, V = 0,32

Решение. (Рис. 2.2) В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые определяются по формуле (2.1);
на 1-м участке (АБ) G₁ = МПа
на 2-м участке (ВС) G₂ = МПа

на 3-м участке (CP) G₃ = МПа

на 4-м участке (DК) G₄ = МПа

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений (рис. 2 2.6).

Поперечные сечения стержня под действием нагрузки смещаются по вертикали вниз. Смещение Δℓ₂ сечения, находящегося на расстоянии Z от верхнего конца стержня, равно деформации участка длиной Z:

a) для сечений на участке KD (при 0 ≤ Z ≤ 0,5 м)

перемещение сечения D (Z = 0,5 м)

Δℓ_D = 25∙10^-5∙0,5 = 12,5∙10^-5 м = 0,125 мм

б) для сечений на участке СD (при 0,5 м ≤ Z ≤ 1 м)

перемещение сечения С (Z = 1 м)

Δℓ_с = (15,6-6,2∙1) 10^-5 = 9,35∙10^-5 м = 0,093 мм

в) для сечений на участке ВС (1 м ≤ Z ≤ 1,4 м)

перемещение сечения В (Z = 1,4 м)

Δℓ_В = (1,875 ∙1,4-1,78) 10^-3 = 0,845∙10^-3 м = 0,845 мм

г) для сечений на участке АВ (1,4 м ≤ Z ≤ 1,8 м)

перемещение сечения А (Z = 1,8 м)

Δℓ_А = (1,25∙1,8-0,9) ∙10^-3 = 1,35∙10^-3 м = 1,35 мм

Полное удлинение стержня

Δℓ = Δℓ_А= 1,35 мм

Во все полученные выражения Δℓ координата Z входит в первой степени, т.е. зависимость между Δℓ и Z линейная. Это позволяет по подсчитанным перемещениям сечений А, В, С, D и по известному перемещению Δℓ_к = 0 сечения К построить эпюру перемещений Δℓ (рис. 2.2,в).

Пример 2.4. Стальной стержень квадратного сечения со сто­ронами а = 2см растянут силой F= 40 кН. Определить размеры попереч­ного сечения стержня после деформации, если Е = 2 ∙ 105 МПа и коэффициент Пуассона V = 0,25.

Решение. Относительная продольная деформация стержня определяется
по формуле (2.2)

Учитывая, что N = F = 40 кН, А = а², находим

Относительная поперечная Деформация стержня.

ε^/ = vε = - 0,25 ∙ 5 ∙ 10^-4 = - 1,25 ∙10^-4

Знак минус указывает на то, что размеры поперечных сечений стержня уменьшились. Величина этого уменьшения составляет

Δ Q = Q = 2 ∙ 1,25 ∙ 10^-4 = 2,5 ∙ 10^-4 см = 2,5 ∙ 10^-3 мм

2.3. Потенциальная энергия деформации

При статическом нагружении стержня постоянного сечения А, длиной ℓ, силой F с модулем линейной упругости E по­тенциальная энергия деформации

U = (2.7)

где N - продольная сила, Н;

V= A ∙ ℓ - объем стержня.

При одновременном действии нескольких сил на стержень со
ступенчатым изменением поперечных размеров при напряжениях, не
превышающих предела пропорциональности, потенциальная энергия
деформации

(2.8)

где n - число участков, отличающихся значением напряжений G;

G_i - нормальное напряжение в поперечных сечениях i-го участка;

N_i - продольная сила в поперечных сечениях на i-том участке;

V_i, A_i, ℓ_i - соответственно объем, площадь сечения и длина i-го участка.

Пример 2.5. Определить потенциальную энергию деформации стержня по данным и полученным результатам примера 2.2.

Решение. Для вычисления потенциальной энергии деформации стержня воспользуемся формулой (2.8)

Так как в нашем случае l₁ = l₂ и l₃ = l₄, то

2.4. Пластичность материала

Пластичность материала характеризуется остаточным относительным удлинением

δ = (2.9)

где ℓ_раз - длина образца после paзрыва, измеренная после сое­динения частей разорванного образца;

и остаточным относительным сужением

Ψ = (2.10)

где A_ш - площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки.

Пример 2.5. Круглый стальной стержень длиной 200 мм и диа­метром 20 мм разорван на испытательной машине. После разрыва общая длина частей стержня составляет 252 мм, а наименьший диа­метр шейки равен 14,5 мм. Определить остаточное относительное удлинение образца δ и остаточное относительное сужение шейки Ψ.

Решение. Остаточное относительное удлинение образца определяем по формуле (2.9):

δ =

Остаточное относительное сужение находим по формуле (2.10):

Ψ = 47,4 %

2.5. Расчет на прочность

Условие прочности при растяжении (сжатии)

G = (2.11)

– допускаемое нормальное напряжение;

G_l – предельное нормальное напряжение (для пластичных материалов G_l = G_Т, для хрупких - G_l = G_в)

n - коэффициент запаса прочности.

При проверочном расчете определяют фактическое напряжение и сравнивают его с допускаемым

При проектном расчете определяют размер поперечного сечения стержня

А (2.12)

Для определения допускаемой нагрузки находят допус­каемую продольную силу, а затем по ней находят

Например 2.6. На рис.2.3,а показан металлический стержень, а на рис.2.3,б - эпюра N продольных сил, возникающих а его поперечных сечениях. Произвести расчет стержня на прочность в указанных ниже случаях.

I. Стержень изготовлен из пластичной стали:

= 160 МПа, = 30 кН, А₁ = 10 см², А₂ = 4 см²

Проверить прочность стержня.

Рис. 2.3

Решение. Поперечные сечения участка III стержня не могут быть опасными, так как в них предельная сила меньше (по абсолютной величине), чем в сечениях участка II, а площади поперечных сечений участков II и III одинаковы. Опасными могут быть сечения участка I или II. Определим нормальные напряжения в них:

G₁ =

G_II =

Стержень является прочным, так как угловые прочности (2.16) выполняются

G₁ = 120 мПа < = 160 мПа

G_II = = 150 мПа <

2. Стержень изготовлен из чугуна:

80 мПа, 150 мПа, F =30 кН, А₁ = 10 см², А₂ = 4 см²

Проверить прочность стержня.

Решение. Определим нормальные ускорения в поперечных сечениях участков I, II и III стержня:

G₁ =

G_II =

G_III =

Снижающие напряжения G_II = - удовлетворяют условию прочности

G_с = = 150 мПа ≤

Наибольшие растягивающие напряжения G₁ =120 мПа не удовлетворяют условию прочности (2.11):

G_р = G₁∙ 120 мПа > = 80 мПа

Следовательно, прочность стержня недостаточна.

3. Стержень изготовлен из пластичной стали:

160 мПа, F = 30 кН. Подобрать площадь А₁ поперечных сечений для участка 1 и А₂ для участков II и III.

Решение. По формуле (2.11)

А₁

А₂

Принимаем А₁ = 75 , А₂ = 38

4. Стержень изготовлен из пластичной стали:

160 мПа, А₁ = 10 см², А₂ = 4 см²

Определить допускаемое значение нагрузки .

Решение. Определяем допускаемые (по условию прочности) значения продольных сил:

= = 160 ∙10⁶∙10∙10^-4=16∙10⁴ Н = 160 кН

Из эпюры N (рис. 2.3, б) следует, что

N₁ = 4F, N₃ = F

Тогда из условия прочности для участка I стержень

N₁ = 4F ≤ = 160 кН,

откуда F ≤ 40 кН;

Для участка II: ≤ 64 кН,

откуда F ≤ 32 кН;

Для участка III: N₃ = F ≤ = 64 кН,

откуда F ≤ 64 кН.

Допускаемое значение нагрузки , при котором условие прочности (2.11) выполняется для всех участков стержня, равно меньшему из найденных значений, т.е. = 32 кН.

Пример 2.7. В швейном производстве применяется пресс ПЛИм с пневматическим приводом. Поршень силового цилиндра (рис. 2.4) прессе имеет диаметр D = 12 см, в шток поршня - диамотр d = 1,6 см.

Рис. 2.4.

Давление сжатого воздуха q = 6 ∙ 10⁵ Па. Найти наибольшее напряжение в штоке. Решение. Напряжение в штоке

G =

где А_ш - площадь поперечного сечения штока,

А_ш = 2,01 см²

/\/ - продольная сипя в сечении штока, равная силе давления на поршень.

N = Fn = q∙An = q∙

Напряжение в штоке

G = ,76 Па = 33,76 мПа

2.5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.1. Прямой стальной стержень площадью поперечного сечения А= 6 см², закрепленный верхним концом, растягивается силой F = 3 кН, приложенной к его нижнему концу.

Определить нормальные напряжения G в поперечных сечениях стержня.

Задача 2.2. Для стержня, рассмотренного в задаче 2.1, определить относительную продольную деформацию ε, относительную поперечную деформацию ε^/ и удельную потенциальную энергию деформации u. Принимая длину стержня равной 2 м, найти удлинения Δℓ стержня и полную потенциальную энергию U деформации стержня.

Задача 2.3. Стальная полоса шириной 16 см, ослабленная круглым отверстием диаметром 20 мм, растягивается силой F = 269 кН.

Определить необходимую толщину полосы при допускаемом напряже­нии = 160 мПа.

Задача 2.4. Найти наибольшее напряжение в сечении круглого стержня (рис. 2.5) и определить перемещение сечения I - I, если F = 50 кН; Q = 0,4 м; в = 0,6 м; А = 5 см²; Е = 2∙10⁵ мПа

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Задаче 2.5. Определить площадь поперечного сечения А и его удлинения (рис. 2.6.), если Q = 0,5 в = 50 см, С = 1 м.

= 160 мПа, Е = 2∙10⁵ мПа

Задача 2.6. Определить площади поперечных сечений А₁ и А₂ ступенчатого стержня (рис.2.7.), если α = 2в = 1 м, F =100 кН, Е = 2∙10⁵ мПа, удлинения участков стержня равны Δℓ_α = Δℓ_в = 0,5 мм.

Задача 2.7. Найти максимальное значения сил F_1max и F_2max и удлинение стержня (рис. 2.8.), если А = 5 см², α = 0,5 м, в = 1,0 м, = 180 мПа, Е = 2∙10⁶ мПа

Задача 2.8. Определить модуль продольной упругости Е для материала стержня и его удлинение Δℓ (рис. 2.9.), если ε = 10^-5, ℓ = 1 м, F = 50 кН, А = 4 см².

Задача 2.9. Найти значения площадей поперечных сечений стержня А₁, А₂, А₃ из условия, равнопрочности (рис. 2.10), если F = 50 кН, = 140 мПа. Найти удлинение стержня при Е = 2∙10⁵ мПа.

Рис.2.7 Рис.2.8

Задача 2.10. Определить диаметр D металлической трубы и её укорочение (рис.2.II.), если d = 100 мм, ℓ = 3 м, F = 10³ кН, = 160 мПа, Е = 2∙10⁵ мПа.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Рис. 2.II

2.7. Вопросы для самоконтроля

1. Как вычисляются значения продольной силы в произвольном по­перечном сечений бруса?

2. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

3. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого (сжатого) стержня и чему они равны?

4. Как строится эпюра нормальных напряжений при растяжении (сжа­тии)?

5. Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией?

6. Что представляет собой относительная продольная деформация?

7. Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?

8. Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии)?

9. Как формулируется закон Гука?

10. Что называется абсолютной и относительной поперечными де­формациями стержня?

11. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффи­циент Пyaccoнa) и какие он имеет значения?

12. Что называется потенциальной энергией деформации стержня и чему она равна при растяжении (сжатии)?

13. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов?

14. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина?

15. Какие три вида характерных задач встречаются при расчете прочности конструкций? Напишите условие прочности при растяжении для каждого из этих видов задач.

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3

Изгиб. Определение внутренних силовых факторов

Цель - закрепление знаний о деформации изгиба, развитие способности использовать их и приобретение навыков самостоятельного решения задач при определении внутренних силовых факторов (поперечных сил и изгибающих моментов) и построении их эпюр.

3.1. Основные понятия и определения

Изгибом называется такой вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие мо­менты.

При расчетах на изгиб используется та же система координат, что и ранее: ось Z совпадает с осью стержня, а оси X и У яв­ляются главными центральными осями его поперечного сечения (рис. 3.I.).

У

Рис. 3.1

Плоскость, проходящую через продольную ось Z стержня и одну из главных центральных осей (Х или У) его поперечного сечения, называют главной плоскостью.

Прямой стержень, работающий главным образом на изгиб, принято называть балкой.

Плоскость, в которой лежат все внешние силы и лары сил и проходящую через ось балки, называют силовой плоскостью.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью, то такой изгиб называется прямым, в противном случае - косым.

3.2. Внутренние силовые факторы

При прямом изгибе внутренние силы, возникающие в поперечном сечении балки, приводятся к главному вектору Q_y(Q_x), совпадающе­му с осью у(х), и главному моменту М_х (М_y), плоскость действия которого совпадает с главной плоскостью ZOY (ZOX).

Если в поперечных сечениях балки возникают оба внутренних силовых Фактора - изгибающий момент и поперечная сила - то изгиб называется поперечным, если только изгибающий момент - чистым.

Величины Q_y (Q_х) и М_х (М_y) определяются с помощью метода сечения.

Изгибающие момент (М_х, M_y) в данном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно центра тяжести сечения:

М_х = М_у = (3.1)

Поперечная сила (Q_y, Q_х) в данном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех внешних сил, действующих по одну сторону рассматриваемого сечения:

Q_y = , Q_х = (3.2)

Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны между собой следующими зависимостями:

Знак плюс - в случав, когда абсцисса Z возрастает от левого конца балки к правому; знак минус - когда Z возрастает от право­го конца балки к левому.

3.2.1. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил

Изгибающий момент в сечении балки, например в сечении п-п
(рис. 3.2,а), считается положительным, если равнодействующий момент
внешних сил () слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа - против часовой стрелки, а отрицательным - в противоположном случае (рис. 3.2,б).

a)

M_nn > 0

Рис. 3.2

Поперечная сила в сечении п-п (рис. 3.3,а) считайся положи­тельной, если равнодействующая внешних сил () сле­ва от сечения направлена снизу вверх, а справа - сверху вниз, и отрицательной - в противоположном случав (рис. 3.3,б).

Рис. 3.3

3.2.2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Рекомендуется следующий порядок построения эпюр М и Q:

1. Составляется расчетная схема балки (в виде оси) с изображением
действующих на неё нагрузок.

2. Отбрасываются опоры, а их действие на балку заменяется соответ­ствующими реакциями; указываются обозначения реакций и принятие их направления.

3. Составляются уравнения равновесия бачки, решением которых определяются значения опорных реакций.

4. Балка разбивается на участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сия (включая реакции) и моментов, ­а также точки начала и окончания действия или изменения ха­рактера распределенных нагрузок.

5. Составляются выражения изгибающих моментов М (М_х, M_y), попе­речных сил (Q_х, Q_y) для каждого участка балки. В сечениях балки рекомендуется указывать направление изгибающего момента и попереч­ной силы положительными с учетом правил знаков. В этом случае полу­ченные в результате расчетов знаки М и Q будут определять знак изгибающего момента и поперечной силы.

На расчетной схеме указываются начало и направление отсчета рас­стояний Z для каждого участка.

6. По полученным выражениям исчисляются ординаты эпюр для сечений балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр.

7. Определяются сечения в которых поперечные силы равны и в которых, следовательно, действуют экстремальные изгибающие моменты; вычис­ляются значения этих моментов.

8. По полученным значениям ординат строятся эпюры.

9. Производится проверка построении эпюр путем сопоставления их друг с другом: если на участке нет внешних нагрузок, то эпюры М и Q линейные (причем прямая эпюры Q - параллельна нулевой линии этой эпюры); если на участке действует равномерно распреде­ленная нагрузке, то эпюра М - нелинейная - квадратная парабола; в точке приложения сосредоточенной силы (в том числе реакции) на эпюре поперечных сил соответствует "скачок" на величину этой си­лы, а на эпюре изгибающих моментов - перелом линии; в точках при­ложения сосредоточенных моментов эпюра поперечных сил не меняется, а на эпюре изгибающих (их моментов наблюдается "сжатие" на величину этого моментa.

Дата добавления: 2015-11-04