Российский гocудapcтвенный союз объединений, 3 страница

В ряде случаев отдельные этапы построения эпюр из приведениях выше можно не выполнять. Например, можно не изображать балку без эпюр, а обозначение и направление опорных реакций можно указывать на расчетной схеме балки; при расчете балок, заделанных одним кон­цом, нет необходимости определять опорные реакции.

Пример 3.1. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.4,а.

Решение. Из условия равновесия определяем опорные реакции (рис. 3.4,б):

; = F

Проверяем: =

, 0=0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Paccматривая балка имеет два участка (рис. 3.4,б).

Пользуясь методом сечений, вычисляем изгибающие моменты и поперечные силы на этих участ­ках.

Участок I (0 ≤ Z ≤ α)

Согласно (3.1.)

М_х = ∙ Z = ∙ Z, Q_y = =

или, используя (3.3),

Q_y =

При Z = 0

М_х = 0,

Q_y =

При Z = α, М_х = ∙α= , Q_y =

Участок II (0 ≤ Z ≤ ℓ)

М_х = – F ( - α), Q_y = = -

или Q_y = - = -

При Z = α, М_х =

При Z = ℓ, М_х = ∙ ℓ - F ( - α) = ∙ ℓ - ∙ b = 0

По полученным значениям М_х строим эпюру изгибающих момен­тов (рис. 3.4,в), а по значениям Q_y - эпюру поперечных сил (рис. 3.4,г).

Проводя проверку эпюр в соответствии с п.9 рекомендаций их построений, убеждаемся в их правильности.

Пример 3.2. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.5,е.

Решение. Благодаря симметрии системы опорные реакции F_A = F_B =

Балка содержит лишь один участок АВ.

Изгибающий момент в сечении Z (рис. 3.5, б)

М_х = F_A ∙ Z – q ∙ Z

Поперечная сила Q_y =

При Z = 0, М_х = 0

Q_y = q

При Z = ; М_х = q 0

Эпюра изгибающих моментов (парабола) показана на рис. 3.5,в, а эпюра поперечных сил – на рис. 3.5,г.

Анализ эпюр подтверждает их правильность.

Пример 3.3. Построить эпюры М_х и Q_y д ля балки, показанной на рис. 3.6, а

Решение. Проводим сечение на расстоянии Z от точки В.

Условие равновесия сил, действующих на отсеченную правую часть (рис. 3.6,б) имеет вид

М_х =- FZ, Q_y = F или Q_y = - = F

Рис. 3.5

Рис. 3.6

При Z = 0, М_х = 0, Q_y = F

При Z = ℓ, М_х =- Fℓ, = F

По полученным значениям М_х и Q_y строим эпюру изгибающих мо­ментов (рис. 3.6,в) и эпюру поперечных сил (рис. 3.6,г). Делаем анализ построенных эпюр, убеждаемся в их правильности.

Пример 3.4. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.7,б.

Решение. Проводим сечение на расстоянии Z от точки В.

Из определения изгибающего момента поперечной силы (3.2) находим

М_х =- q ∙Z , Q_y = qZ или используя зависимость (3.3),

Q_y = - () = qZ

При Z = 0, М_х = 0, Q_y = 0

При Z = ℓ, М_х =- q , Q_y = qℓ

При Z = , М_х =- q , Q_y = q

По полученным значениям М_х и Q_y строим эпюру изгибающих моментов (рис. 3.7,в) и эпюру поперечных сил (рис. 3.7,г).

Рис. 3.7

Пример 3.5. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показан­ной на рис. 3.8,а, если F = 100 кН, М =100 кН ∙ м, q = 200 , α = 2 м, b = c = 1 м.

Решение. Заменяя действие эпюр их реакциями, используем рас­четную схему, представленную на рис. 3.8,б. Из условий равновесия определяем опорные реакции:

;

Проверяем + = 0

366 100 - 200∙2 +133 , 0 = 0

Рис. 3.8

Для построения эпюр М_х и Q_y пользуемся приведенными правилами.

Участок I (0 ≤ Z₁ ≤ С = 1 м).

Изгибающий момент в сечении с абсциссой Z₁ М_х = - F_Z1

Поперечная сила в этом сечении Q_y =

При Z₁ = 0, М_х = 0, Q_y = - 100 кН

При Z₁ = 1 м, М_х = - 100 кН∙м, Q_y = - 100 кН

Участок II(0 ≤ Z₂ ≤ α = 2 м).

Изгибающий момент М_х = (С + Z₂) + ∙ Z₂-q .

Поперечная сила Q_y = = - F +

При Z₂ = 0 М_х =- F∙ C = - 100∙1 = - 100 кН∙м

Q_y = - F + = - 100 + 366,7 = 266,7 кН

При Z₂ = 2 М_х =-100(1+2)+ 366,7∙2 - 200∙2 = 33,4 кН∙м

Q_y = - 100 + 366,7 - 200∙2= - 133,3кН

Для построения эпюры М_х на участке необходимо определить ординату эпюры хотя бы в одной промежуточной точке. Определим абс­циссу Z₂, соответствующую экстремальному значению изгибающего момента (поперечная сила в этом сечении равна нулю):

Q_y = = 0, - F + - q = 0

Откуда находим =

При Z₂ = = 1,33 м М_х =- 100(1+1,33) +366,7∙1,33 – 200 = 77,8 кН∙м

Участок III (0 ≤ Z₃ ≤ b = 1 м).

Изгибающий момент и поперечная сила в сечении с абсциссой Z₃
соответственно равны М_х = ∙Z; Q_y = -

При Z₃ = 0, М_х = 0, Q_y = 133

Z₃ = 1 м, М_х =133 , Q_y = 133

По полученным значениям М_х и Q_y строим эпюру изгибаю­щих моментов (рис. 3.8,в) и эпюру поперечных сил (рис. 3.8,г). Ана­лиз эпюр М_х и Q_y подтверждает их правильность.

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1. Составить выражения изгибающих моментов и попе­речных сил и построить эпюры М_х и Q_y для балок, изображенных на рис. 3.9.

Задача 3.2. Составить выражения изгибающих моментов и поперечных сил и построить эпюры М_х и Q_y для балок, изображенных на рис. 3.10.

Задача 3.3. Составить выражения изгибающих моментов и попе­речных сия и построить эпюры М_х и Q_y для балок, изображенных на рис. 3. 11.

Задача 3.4. Составить выражения изгибающих моментов и попе­речных сия и построить эпюры М_х и Q_y для балок, изображенных на рис. 3. 12.

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Рис. 3.12

3.4. Вопросы для самопроверки

1. Что называется прямым и косым изгибом?

2. Что называется чистым и поперечным изгибом?

3. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях балки в общем случае действия на неё плоской системы сил?

4. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий при изгибе?

5. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении балки?

6. Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном се­чении балки?

7. Какие типы опор применяются для закрепление балок к основанию?'

8. При каком числе связей балка становится статически неопредели­мой?

9. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

10. Как проверить правильность определения опорных реакций?

11. Какая дифференциальная зависимость существует между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки, перпендикулярной к оси бачки?

12. Чему равна поперечная сила в сечениях бачки, в которых изгибающий момент достигает экстремальных значений?

13. По каким законам изменяется поперечная сила изгибающий момент по длине балки при отсутствии распределенной нагрузки?

14. Как изменяется поперечная сила в сечениях, в которых к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная оси бал­ки?

15. Как изменяется изгибащий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент?

16. Что представляют собой эпюры поперечных и продольных сил, а также эпюра изгибaющиx моментов?

17. В каком порядке строятся эпюры М и Q?

18. В чем заключается проверка эпюр М и Q?

19. В какую сторону обращена выпуклость эпюры М при распределенной нагрузке, направленной вниз?

20. Какой вид имеют эпюры М для балки, заделанной одним концом:

а) от сосредоточенной силы, перпендикулярной оси балки, приложенной на ее свободном конце?

б) от сосредоточенного момента, приложенного на свободном конце балки;

в) от равномерно распределенной нагрузки, перпендикулярной оси балки, действующей по всей её длине?

21. Как определяется экстремальное значение изгибающего момента?

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4

Изгиб. Расчет на прочность

Цель - закрепление знаний о деформации изгиба, развитие способности использовать их и приобретение навыков самостоятельного проведения проектных и проверочных расчетов балок на прочность при изгибе.

4.1. Чистый изгиб. Нормальные напряжения при изгибе

При чистом изгибе в поперечных сечениях бачки возникают толь­ко нормальные напряжения

G = (4.1)

где М_х - изгибающий момент в исследуемом сечении;

у - расстояние от нейтральной оси до данной точки (вдоль оси у);

J_x - момент инерции поперечного сечения относительно нейтраль­ной оси X (проходит через центр тяжести и перпендикулярна к сило­вой плоскости).

Для сечения несимметричного относительно нейтральной оси наибольшие растягивающие и сжимающие (по модулю) напряжения в крайних (наиболее удаленных от нейтральной оси) точках сечения определяют­ся по формулам:

(4.2)

(4.3)

где - осевой момент сопротивления сечения растяжению; (4.4)

- осевой момент сопротивления сечения сжатию. (4.5)

Если нейтральная ось является осью симметрии сечения, то

и тогда

= (4.6)

где h – высота сечения.

Для круглого сечения

(4.7)

Для прямоугольного сечения

(4.8)

4.2. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе

Касательные напряжения, возникающие в точках поперечного се­чения, удаленных от нейтральной оси на расстояние у, а также в слое, параллельном нейтральному с удалением от него на расстоя­ние у, определяются по формуле Д.М. Журавского

(4.9)

где Q_y - поперечная сила в сечении;

S_х^от - статический момент относительно нейтральной оси части сечения, расположенного выше (или ниже) уровня рассматриваемых волокон;

J_x - момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

b(y) - ширина сечения на уровне рассматриваемы х волокон.

Распределение касательных напряжений по высоте сечения за­висит от его формы.

Рис. 4.1

J_max = (4.10)

Круглое сечение (рис. 4.2)

Рис. 4.2

4.3. Расчеты на прочность

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок, мате­риал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию (плас­тичный материал [G_p] = [G_c] = [G]), имеют вид

(4.12)

где - максимальный изгибающий момент;

[G] - допускаемое нормальное напряжение, величина которого берется такой же, как и при растяжении (сжатии).

Форма (4.12) используется для проверочных расчетов.

Аля подбора сечения балки (проемного расчете) из условия прочности (4.12) определяют необходимое значение осевого момен­та сопротивления

W_x . (4.13)

По найденному моменту сопротивления W_x, выбрав форму попе­речного сечения, находят его размеры.

В случав прямоугольного сечения предварительно задаются от-
ношением т= (обычно m = 1..3) и, используя формулу (4.8), находят

h = (4.14)

Для круглого сплошного сечения диаметр балки находят из формулы (4.7)

d = (4.15)

Если балка выполнена из прокатного профиля, необходимый но­мер проката подбирается по таблицам сортамента прокатных сталей (таблицы приведены в справочной и учебной литературе) в зависимос­ти от требуемого момента сопротивления.

Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, расчетные Формулы на изгиб для подбора сече­ния имеют вид:

(4.16)

(4.17)

где М_1x и М_2x - наибольшие по абсолютному значению изгибающие мо­менты в опасных сечениях соответственно для растянутых и сжатых волокон;

[G_р] и [G_с] - допускаемые напряжения для материала балки соответственно на растяжение и сжатие;

у₁ и у₂ - расстояния до волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси, соответственно растянутых и сжатых.

В балках сплошного сечения обычно величины касательных напря­жений пo сравнению с нормальными невелики и поэтому, большей частью, производить проверку прочности балки по касательным напря­жениям нет необходимости.

В коротких балках, сильно нагруженных вблизи опор, и в бал­ках тонкостенного профиля касательные напряжения могут иметь срав­нительно большую величину, и в этом случае проверку прочности по касательным напряжениям производят по формуле Журавского

(4.18)

и формулам (4.10) и (4.11).

Пример 4.1. Для балки, показанной на рис. 4.3,а, определить необходимые размеры круглого, квадратного, прямоугольного и дву­таврового прокатного сечений; отношения весов балок этих сечений; нормальные напряжения в указанной точке А сечения под силой для двутаврового сечения. Допускаемое напряжение [G] = 160 МПа.

Рис. 4.3

Решение. Так как балка симметрична относительно среднего се­чения, те максимальный изгибающий момент будет в этом сечении. От распределенной нагрузки эпюра М_х - параболическая

от сосредоточенных сил

F ∙ α = 9,8 ∙1 = 9,8

Изгибающий момент в среднем сечении

+ = 21,6 + 9,8 = 31,4

По формуле (4.13) находим необходимый момент сопротивления сечения

= 0,196 ∙ 10^-3 м³ = 196 см³.

Определяем размеры сечений:

1. Для круглого сечения (4.15)

d = = 126 cм

Площадь поперечного сечения балки

=124,7 см²

2. Для квадратного сечения (4.14) (a = b = h)

= 10,5 см

Площадь поперечного сечения балки

А₂ = ² = 10,5² = 111,4 см².

3. Для прямоугольного сечения (4.14) (h= 2b)

h = = 13,3 см

Площадь поперечного сечения балки

А₃ = bh = = 88,4 см²

4. По сортаменту двутавровых балок для № 20 W_x = 184 см³, для № 20а W_x = 203 см³.

Проверим балку № 20 по напряжениям:

(перенапряжение)

Так как перенапряжение более 5 %, то двутавровую балку № 20 брать нельзя.

Проверяем балку № 20а:

= = - 3,44 %

(недонапряжение)

Следовательно, принимаем балку № 20а, для которой (из таблицы) А₄ = 28,9 см² момент инерции сечения, J_x = 2030 cm ⁴, высо­та h = 20 см.

Поскольку вес бачки пропорционален площади её поперечного сечения, то отношение весов балок равно отношению площадей их се­чений. Принимая площадь круглого сечения за условную единицу имеем:

А₁:А₂:А₃:А₄ = : : = 1: = 1: 0,89: 0,71: 0,23.

Таким образом, например, балки двутаврового сечения даже при избыточных размерах площади (допущено недонапряжение (3,4 %) в 1/0,23 = 4,3 раза легче бачки круглого поперечного сечения.

Определяем изгибающий момент в сечении балки под силой F:

кНм.

В точке А этого сечения, для которой у = см, нормальное напряжение будет сжимающим (балка выгибается вниз) и определится по формуле:

- 64∙10⁶ Па = - 64 мПа.

Пример 4.2. Подобрать размеры b и h прямоугольного сечения балки при отношении h/b = 2 и допускаемом напряжении (для дерева)

[G] = 10 мПа. в поперечном сечении действуют изгибающий момент М_х = 30 кН∙м и поперечная сила Q_y = 30 кН.

Проверить прочность балки по наибольшим касательным напряже­ниям, возникающим в её поперечном сечении, если [ε] = l,2 МПа.

Решение. По формуле (4.13) определяем требуемый момент сопротивления сечения:

W_x = = 3∙10^-3 м³ = 3000 см³

Пo формуле (4.15) при ro = = 2 находим

h = = 33 см

b =

Дата добавления: 2015-11-04