|
Решение.
Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
10. B 13. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
Решение.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора: . Площадь основания
.
Тогда объем пирамиды
.
Ответ: 12.
Ответ: 12
Вариант № 3714293
1. B 13. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Заметим, что
.
Поскольку , далее имеем:
.
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
2. B 13. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной фигуры равен разности объемов цилиндра с радиусом основания 5 и высотой 5 и цилиндра с той же высотой и радиусом основания 2:
.
Ответ: 105.
Ответ: 105
3. B 13. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а – высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани
.
Ответ: 8.
Ответ: 8
4. B 13. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки и .
Решение.
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и — прямые. Следовательно, сечение — прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем
Тогда площадь прямоугольника равна:
Ответ:5.
Ответ: 5
5. B 13. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение.
Объем данной части цилиндра равен
.
Ответ: 3,75.
Ответ: 3,75
6. B 13. Диагональ куба равна . Найдите его объем.
Решение.
Диагональ куба в раз больше его ребра. Поэтому ребро куба равно
Тогда объем куба .
Ответ: 729.
Ответ: 729
7. B 13.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Решение.
..
Ответ: 24.
Ответ: 24
8. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .
Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, т. к. — высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора
.
Ответ: 4.
Ответ: 4
9. B 13. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где — площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда
Ответ: 5.
Ответ: 5
10. B 13. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
Решение.
Для вычисления боковой поверхности призмы воспользуемся формулой, где – длина бокового ребра, а – периметр перпендикулярного сечения призмы:
.
Ответ: 240.
Ответ: 240
Вариант № 3714356
1. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.
Решение.
Найдем третье ребро из выражения для объема:
.
Площадь поверхности параллелепипеда
.
Ответ: 22.
Ответ: 22
2. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .
Решение.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный: т. к. — высота, она перпендикулярна основанию , а значит и прямой . Тогда по теореме Пифагора
.
Ответ: 6
3. B 13. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
Решение.
Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:
.
Поэтому объем шара равен
Тогда
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
4. B 13. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.
Решение.
Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как . Площадь боковой поверхности призмы тогда равна
.
Ответ: 36.
Ответ: 36
5. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Решение.
По теореме Пифагора найдем, что половина диагонали основания равна 8. Тогда диагональ основания равна 16, а сторона – и площадь
Тогда объем пирамиды
Ответ: 256.
Ответ: 256
6. B 13. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание – прямоугольник со сторонами 3 и 4.
Решение.
Объем пирамиды с площадью основания и высотой равен
.
Ответ: 24.
Ответ: 24
7. B 13. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
Решение.
Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :
Ответ: 24.
Ответ: 24
8. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник катет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне: . Поскольку имеем:
Ответ: 2.
Ответ: 2
9. B 13. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Решение.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна
,
где – периметр основания, а –апофема. Апофему найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь боковой поверхности
Ответ: 360.
Ответ: 360
10. B 13. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на . Решение.
В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на вычисляется следующим образом:
Ответ: 9.
Ответ: 9
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 113 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |